TRABALHO CUBO

Os produtos notáveis são estruturas algébricas que apresentam características comuns ao serem desenvolvidas. Essas estruturas apresentam muita utilidade no campo da álgebra, principalmente na simplificação de expressões algébricas. É importante conhecê-las e saber utilizá-las nas diversas situações em que haja necessidade de simplificar uma sentença matemática. O cubo da soma e da diferença de dois termos são dois dos produtos notáveis. Vamos observar como eles são obtidos.

Cubo da soma e da diferença de dois termos

Observe que o cubo da soma de x com y é diferente da soma dos cubos de x com y: cubo da soma: (x + y)3 soma dos cubos: x3 + y3
Assim: (x + y)3 ≠ x3 + y3
Determinamos o volume de cada sólido efetuando o produto das três dimensões (comprimento, largura e altura). Assim:

O volume total do cubo é: Vt = x3 + y3 + 3x2y + 3xy2. Escrevendo o volume total do cubo formado em relação às arestas dos cubos menores, temos:

Vt = (x + y)3 = (x + y) . (x + y)2 = (x + y) . (x + y) . (x + y)
Temos que: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Substituindo x2 + 2xy + y2 em (x + y) . (x + y) e aplicando a propriedade distributiva

= x . x2 + 2x . xy + xy2 + yx2 + 2x . yy + y . y2 = x3 + 2x2y + xy2 + x2y + 2xy2 + y3 =
= x3 + 2x2y + 1x2y + 2xy2 + xy2 + y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
O cubo da soma de x com y é o resultado de uma soma elevada ao cubo, ou seja, (x + y)3.
Assim: (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Cubo da soma
Sejam a e b números reais diferentes de zero. Temos que:
(a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a3 + 2a2b +ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Observe que utilizamos o quadrado da soma, que é outro produto notável, para obter o cubo da soma. De uma forma geral, o cubo da soma pode ser obtido da seguinte maneira:

Cubo da diferença
O cubo da diferença é feito de maneira análoga ao cubo da soma. Observe:
(a – b)3 = (a – b)2(a – b) = (a2 – 2ab + b2)(a – b) = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
De uma forma geral, temos