Trabalho 01- ResMat II

Universidade Santa Úrsula 1
Resistência dos Materiais II

UNIVERSIDADE SANTA ÚRSULA
Departamento de Engenharia Mecânica
Resistência dos Materiais II – Abril de 2014
Aluno: Paulo Victor De Souza Araújo
1 – Para os estados planos de tensões a seguir, determinar:
I.
Os planos principais;
II.
As tensões principais;
III.
A que plano corresponde cada tensão principal,
IV.
A tensão de cisalhamento máxima e os planos correspondentes.
2 – Representar graficamente os estados de tensões correspondentes aos planos principais e aos planos de tensão de cisalhamento.
A)

B)

C)

𝜎 𝑦 = 10𝑀𝑃𝑎

𝜎 𝑦 = 80𝑀𝑃𝑎

𝜏 𝑥𝑦 = 12𝑀𝑃𝑎

𝜎 𝑦 = 12𝑀𝑃𝑎

𝜏 𝑥𝑦 = 30𝑀𝑃𝑎

𝜎 𝑥 = 20𝑀𝑃𝑎

𝜏 𝑥𝑦 = 60𝑀𝑃𝑎

𝜎 𝑥 = 30𝑀𝑃𝑎

𝜎 𝑥 = 60𝑀𝑃𝑎

A-I) Os planos principais
2𝜏 𝑥𝑦

tan 2𝜃 𝑃1 =

𝜃 𝑃1 =

tan−1 (

𝜎 𝑥 −𝜎 𝑦
2.12
)
20−10

2

𝜃 𝑃1 = 33,69°

−1

→

2𝜃 𝑃1 = tan

→

𝜃 𝑃1 =

∴

2𝜏 𝑥𝑦

(𝜎

tan−1 (2,4)
2

𝑥 −𝜎 𝑦

→

)

→

𝜃 𝑃1 =

−1

2𝜃 𝑃1 = tan
67,38°
2

2𝜏 𝑥𝑦

(𝜎

𝑥 −𝜎 𝑦

)

→

𝜃 𝑃1 =

tan−1 (

2𝜏 𝑥𝑦
)
𝜎 𝑥 −𝜎 𝑦

2

→

∴

𝜃 𝑃2 = 123,69°

A-II) As tensões principais
𝜎 𝑚á𝑥 =

𝜎 𝑥 +𝜎 𝑦
2

+ √(

2

𝜎 𝑚á𝑥 =

20+10
+
2

√(20−10) + 122 →

𝜎 𝑚í𝑛 =

20+10
−
2

√(20−10) + 122 →
2

2

2

𝜎 𝑥 −𝜎 𝑦 2
2

) + 𝜏 𝑥𝑦 2

𝜎 𝑚í𝑛 =

𝜎 𝑥 +𝜎 𝑦
2

− √(

𝜎 𝑥 −𝜎 𝑦 2
2

) + 𝜏 𝑥𝑦 2

𝜎 𝑚á𝑥 = 15 + √52 + 122 → 𝜎 𝑚á𝑥 = 15 + 13 →
𝜎 𝑚í𝑛 = 15 − √52 + 122 → 𝜎 𝑚í𝑛 = 15 − 13 →

𝜎 𝑚á𝑥 = 28𝑀𝑃𝑎
𝜎 𝑚í𝑛 = 2𝑀𝑃𝑎

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Resistência dos Materiais II
A-III) A que plano corresponde cada tensão principal
Aplicando 𝜃 𝑃1 e 𝜃 𝑃2 em 𝜎 𝑥′ =
𝜎 𝑥′ =

𝜎 𝑥 +𝜎 𝑦
2

𝜎 𝑥 −𝜎 𝑦

+

2

20+10
20−10
+ 2 . cos(2. (33,69°)) +
2

. cos 2𝜃 + 𝜏 𝑥𝑦 . sin 2𝜃 :

𝜏 𝑥𝑦 . sin(2. (33,69°))

→

𝜎 𝑥′ = 15 +