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Aula 08

NÚMEROS COMPLEXOS
PARTÍCULA IMAGINÁRIA “i”:
Observe a resolução da equação do segundo grau abaixo através da fórmula de Bháskara:

> Quando o expoente do “i” for maior do que
4, podemos dividir esse expoente por 4 e tomar o resto como expoente correspondente e dessa forma consultar a lista:

i0=1

i1=i

i2= -1

i3= -i

Exemplo
Como o discriminante (D= b2 – 2ac) esulta um valor negativo o que impossibilita um conjunto solução no universo dos números reais. Dessa forma ocorre uma ampliação desse conjunto com a inclusão das raízes de números negativos com índice par originando o conjunto dos números complexos.

i=

5i63 – 9i8742 – 3i536

5i3 - 9i2 - 3i0
5.(- i) - 9.(- 1) - 3.1
- 5i + 9 - 3
6 - 5i

> A soma de quatro potências consecutivas de “i” resulta zero.
Exercício

Resolução:

maginário puro : parte real = 0

a + b = ???

Z = (a + b - i)(1- i)
Resolução:
Desde i17 até i30 temos 14 termos. Cada grupo de 4 a soma resulta zero, então sobram dois termos (podemos considerar os dois últimos ou os dois primeiros):

Z = a - ai + b - bi - i + i2
Z = a + b - 1- ai - bi - i parte real = 0 : a + b - 1= 0 a + b = 1 (e)

Considerando a soma dos dois últimos: i29 + i30 = i1 + i2 = i - 1 (d)

FORMA ALGÉBRICA: a = parte real bi = parte imaginária b = coeficiente da parte imaginária

Resolução: número real : parte imaginária = 0
Z =

(x – 3i)(3 + xi)

Z = 3x + x 2i - 9i - 3xi2
Z = 3x + x 2i - 9i + 3x
Z = 6x + (x 2 - 9)i x2 - 9 = 0 x2 = 9 x= ± 9 x= ±3

(b)

x = ???

2) O ponto P, representado na figura é a imagem do complexo

a) - 1+
b) c)

3i

3+ i

d) 3 + i
e) 1-

3i

1
3
+ i 2
2

3) Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária.
Podemos afirmar que z8 é igual a:
a) 16
b) 161
c) 32
d) 32i
e) 32+16i

4) Dado o número complexo z = – 5i + 5, o número complexo conjugado de z é:

Exercícios
1) Qual o valor de i14 , onde i =
a) -i
b) i
c) - 1
d) 1
e)