Teoremas

TEOREMAS DE GREEN, GAUSS E STOKES

Calculo III
Turma

Professor:
Aluno:

Teorema de Green
O Teorema de Green, transforma uma integral dupla (no plano XoY, por exemplo) numa integral de linha (contorno da região de integração) ou vice-versa.
Consideremos uma região R regular limitada pelas curvas C1: y = f(x) e C2:y = g(x) , ambas definidas para x entre x = a e x = b .
Para cada função U( x , y ), temos que

= =
Então, por trocas de sinais, conseguimos
-=+=+,
ou seja: – = , com C = C1 C2
De modo análogo, se R também for regular limitada pelas curvas
C3: x = p(y) e C4: x = q(y) , ambas definidas para y entre y = c e y = d , para cada função V( x , y ), temos que== +, ou seja: = . com C = C3 C4
Quando R não for regular nas duas direções (OX e OY), podemos dividi-la em regiões assim regulares.
Numa só equação, temos o enunciado do Teorema de Green. Se U , V , xV e xV forem contínuas numa região R (do plano XoY), então = = .dS , com C = fronteira de R, de forma que R fique na esquerda quando percorremos C no sentido de integração.
Exemplo:
Seja a função F( x , y ) = [ x+ 2y2, x2 +3y ] e a curva C dada pelo bordo do quadrado [ 0 , 1 ]2, z = 0.
Calcule a integral de linha .dS para a curva orientada no sentido anti-horário.
Solução:

.dS = dxdy = =dxdy =dy = dy = = - 1

Teorema de Stokes
Se C ( uma curva fechada no R3 ) é a fronteira de uma superfície S então para cada campo vetorial F = [ F1 , F2 , F3], temos que
. dS = . dA
(que justifica o nome circulação)
A região R fique na esquerda quando percorremos C no sentido de integração.

Numa dimensão maior, temos o Teorema da Divergência, ou o

Teorema de Gauss
Se S ( superfície fechada no R3 ) é a fronteira de uma região D, então para cada campo vetorial F = [ F1 , F2 , F3], temos que
. dA = dxdydz
Comparativo:
Os Teoremas de Green e Stokes relacionam o valor de integrais ao longo de curvas com certos integrais em superfícies. O Teorema de Green garante que a soma dos integrais ao