série numericas

Capítulo 1
SEQUÊNCIAS E SÉRIES
Neste capítulo apresentaremos apenas o essencial sobre sequências e séries, o mínimo, para estudar as soluções analíticas de Equações Diferenciais Ordinárias
(EDO), as convergências das séries de Fourier e a validade das soluções das Equações Diferenciais Parciais (EDP) que estudaremos. Às pessoas interessadas nas demostrações ou que desejem aprofundar-se nos assuntos deste capítulo, indicamos [LE] na bibliografia.

1.1 Sequências Numéricas
Denotemos por N o conjunto dos números naturais e por R o conjunto dos números reais.
Definição 1.1. Uma sequência de números reais é uma função: f : N −→ R.
As notações clássicas para sequências são: f (n) = an , o termo geral da sequência.
A sequência é denotada por: an n∈N

= a1 , a2 , . . . . . . , an , . . . .

Não confundir a sequência an n∈N com {a1 , a2 , . . . . . . , an , . . . } que é o conjuntoimagem da função que define a sequência .
Exemplo 1.1.
1
n
√
n
[2]

[1]

1 1
1
1
, , . . . , , . . . ; o conjunto-imagem é
/n∈N .
2 3 n n
√
√
√
= 1, 2, . . . , n, . . . ; o conjunto-imagem é { n / n ∈ N}.

= 1, n∈N n∈N

[3] (−1)n

n∈N

= − 1, 1, −1, . . . , (−1)n , . . . ; o conjunto-imagem é {−1, 1}.
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CAPÍTULO 1. SEQUÊNCIAS E SÉRIES

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3

1
2

1

1

2

3

4

5

6

1

7

Figura 1.1: Gráficos das sequências

2

3

4

5

6

7

√
1
n e n

Definição 1.2. Uma sequência an n∈N converge ao número real L quando para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que |an − L| < ε para todo n > n0 .
Se a sequência an

n∈N

converge a L, denotamos: lim an = L;

n→+∞

o número L é dito o limite da sequência.
Uma sequência é dita divergente se não converge. Logo, a sequência an n∈N diverge quando, para nehum número real L, se tem lim an = L, ou seja, se n→+∞ existe ε > 0 tal que para cada n0 ∈ N existe n > n0 tal que |an − L| ≥ ε.
Exemplo 1.2.
[1] A sequência (n)n∈N = (1, 2, 3, . . . , n, . . .), claramente,