Série de fourier de forma complexa

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N´ meros Complexos u

Um n´mero complexo z ´ uma express˜o da forma z = a + ib, sendo que a e b s˜o n´meros u e a a u 2 reais e i um n´mero imagin´rio puro que satisfaz i = −1. Definimos a = Re(z) ( parte real u a de z) e b = Im(z) ( parte imagin´ria de √ O conjugado de z ´ definido por z = a − ib e o a z). e ¯ 2 + b2 . valor absoluto ou m´dulo de z por |z| = a o Dados dois n´meros complexos z = x + iy e w = u + iv podemos definir as opera¸oes u c˜ soma, subtra¸ao, multiplica¸˜o e divis˜o de n´meros complexos da seguinte maneira : c˜ ca a u 1. z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v) 2. z − w = (x + iy) − (u + iv) = (x − u) + i(y − v) 3. z.w = (x + iy).(u + iv) = (xu − yv) + i(xv + yu) 4. z w

=

x+iy u−iv . u+iv u−iv

=

xu+yv u2 +v 2

+ i yu−xv , u2 +v 2

se w = 0

O conjunto dos n´meros complexos munido com tais opera¸˜es ´ denotado por C. A u co e partir dessas defini¸˜es, algumas propriedades podem ser facilmente verificadas : co (a) z ± w = z ± w ¯ ¯ (b) zw = z w ¯¯ (c) z z = |z|2 ¯ (d) Re(z) = (e) Im(z) = z+¯ z 2 z−¯ z . 2i

Em C, definimos a fun¸ao exponencial da seguinte maneira c˜ ez = exp(z) = zn z2 =1+z+ + ... 2 n=0 n!
∞

(1)

Utilizando o crit´rio da raz˜o verifica-se que o raio de convergˆncia da s´rie complexa acima e a e e ´ ∞, ou seja, a s´rie converge para todo n´mero complexo. Em particular, para z = iθ, e e u θ ∈ R, devido a convergˆncia absoluta de (1), n´s obtemos a f´rmula de Euler : e o o
∞ (iθ) eiθ = n=0 n! ∞ (iθ)2n ∞ (iθ)2n+1 = n=0 (2n)! + n=0 (2n+1)! 3 θ2 θ4 = 1 − 2 + 4! + . . . + i(θ − θ + 3! eiθ = cos θ + isen θ. n θ5 5!

+ . . .)

(Observemos que i2n = (i2 )n = (−1)n .) Al´m disso, e−iθ = cos θ − isen θ = eiθ . Portanto, e devido a (d) e (e) conclu´ ımos que : cos θ = eiθ + e−iθ , 2 1 sen θ = eiθ − e−iθ . 2i

A partir da f´rmula de Euler, algumas demonstra¸oes de identidades trigonom´tricas o c˜ e se tornam muito mais simples. Por exemplo, uma vez que eiθ eiφ = ei(θ+φ) n´s temos que o (cos θ +