Superficie cilindrica

1. DEFINIÇÃO

Superfície cilíndrica ou cilindroéa superfície gerada por uma reta móvel (denominada geratriz) que se apóia sobre uma curva fixa (denominada diretriz), conservando-se paralelaa uma direção dada.

z Na figura ao lado tem-se: g Diretriz: a diretriz d é d representada por uma curva plana fixa no E3.A diretrizé dada
 pela interseção de2 superfícies:

f1 (x, y, z) 0 d 
f2 (x, y, z) 0
Q y

Geratriz: a geratriz g é a x reta móvel, cuja direção é a do

vetor v = ( , m, n) e que desliza

P sobre a diretriz, mantendo a sua direção. Na figura limitou-se o comprimento das geratrizes, mas deve ficar entendido que elas se prolongam indefinidamente.
A superfície cilíndrica pode ser circular, parabólica, elíptica ou hiperbólica, conformea diretriz seja um círculo, uma parábola, uma elipse ou uma hipérbole. Em particular, se a diretriz for uma reta a superfície cilíndricaé um plano.

2. EQUAÇÃO DA SUPERFÍCIE CILÍNDRICA

Retornandoà figura, considere:
P= (X, Y, Z) umponto genérico pertenceà geratriz;
Q= (x, y, z) o ponto de interseção da diretriz d coma geratriz que passa por P.


Os vetores (Q P)ev são paralelos:

(Q P)= tv

Q=P+ tv CÔNICAS E QUÁDRICAS

Substituindo as coordenadas cartesianas:

x=X + t y=Y+ mt z=Z+ nt

Tais equações denominadas de paramétricas são levadas nas equações da diretriz:

f1 (X t, Y mt, Z nt) 0 d 
f2 (X t, Y mt, Z nt) 0

Numa das equações acima isola-seo parâmetro t,o qualé substi- tuído na outra equação, obtendo-sea superfície cilíndrica correspondente, que assumea formaF= (X, Y, Z)= 0.

Exercício

"Seja você mesmo, mas não seja sempre o mesmo."
Gabriel, o Pensador.

Achara equação do cilindro de geratrizes paralelasà reta

r : x 1 y 1 z 3 e cuja diretrizéa curva de interseção da superfície
1 3 1 esférica x2 + y2 + z2 =4 como plano : x y+z= 0.

RESOLUÇÃO:

r A interseção do