Subespaços vetoriais

No exemplo 1 do item 1.1.3 nós mostramos que o R3, com as operações usuais, é um espaço vetorial. No exemplo 4 do mesmo item nós mostramos que W, com as mesmas operações, é também um espaço vetorial. Entretanto, podemos observar que W é um subconjunto de R3 que é, ele próprio, um espaço vetorial. Na verdade, ocorre que dado um espaço vetorial V, é muitas vezes possível formar outro espaço vetorial usando um subconjunto W de V e as operações de V. Como V é um espaço vetorial, as operações de soma e multiplicação por um escalar sempre produzem um outro vetor de V. Agora, para que um subconjunto W de V seja um espaço vetorial, o conjunto W deve também ser fechado para as operações de soma e multiplicação por um escalar. Ou seja, a soma de dois elementos de W tem que ser um elemento de W e a multiplicação de um elemento de W por um escalar tem que pertencer a W. 1.2.1 Definição.
Um subconjunto W de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V, se valem as seguintes propriedades:(i) O vetor nulo de V está em W;(ii) Se u Î W e v Î W então u + v Î W;(iii) Se u Î W e a Î R então a u Î W.
Observações.
marc1.gif (75 bytes)Alguns textos substituem a propriedade (i), nessa definição, pela suposição de que W não é vazio. Nesse caso (i) pode ser deduzido de (iii). A melhor forma de verificar se W é subespaço é observando primeiro se ele contém o vetor nulo de V. Se 0está em W, então as propriedades (ii) e (iii) precisam ser verificadas. De outro modo, se 0 não está em W, então W não pode ser um subespaço e assim, as propriedades (ii) e (iii) não precisam ser verificadas; marc2.gif (74 bytes)A propriedade (ii) diz que W é fechado para a soma, ou seja, a soma de dois elementos de W é sempre um elemento de W. E a propriedade (iii) diz que W é fechado para a multiplicação por um escalar, isto é, toda vez que um elemento de W é multiplicado por um escalar, o resultado é um elemento de W; marc3.gif (72 bytes) É fácil ver que as oito propriedades da definição 1.1.1