Algebra Linear - Espaço vetorial

Álgebra Linear
Espaço Vetorial
Um espaço vetorial V é um conjunto, cujos elementos são chamados vetores, no qual estão definidas duas operações: a adição, que cada par de vetores e V faz corresponder um novo vetor + V, chamado a soma de e , e a multiplicação por um número real, que a cada número k e a cada vetor V faz corresponder um vetor k., ou k, chamado o produto de k por . Essas operações devem satisfazer, para quaisquer e e V, as condições abaixo, chamadas os axiomas de espaço vetorial: comutatividade: + + ; associatividade: = + ) e ; vetor nulo: existe um vetor , chamado vetor nulo, ou vetor zero, tal que para todo V; inverso aditivo: para cada vetor V existe um vetor V, chamado o inverso aditivo, ou o simétrico de , tal que ; distributividade: e ; multiplicação por 1: .

Assim, por exemplo:
i. onde definimos as operações: é um espaço vetorial sobre o conjunto dos reais. Verifique. ii. onde definimos as operações: é um espaço vetorial sobre o conjunto dos reais. Verifique.
Subespaços Vetoriais
Um subespaço vetorial do espaço vetorial V é um subconjunto S V que, relativamente às operações de V, é ainda um espaço vetorial. Os subespaços vetoriais constituem uma rica fonte de exemplos de espaços vetoriais.
Seja V um espaço vetorial. Um subespaço vetorial S é um subconjunto de S V com as seguintes propriedades:
a. ;
b. Se F então e F;
c. Se F então, para todo k , F.
Da definição acima, concluímos que:
Os subespaços de são:
i. ; ii. As retas que passam pela origem dos eixos coordenados; iii. A origem dos eixos coordenados.
Os subespaços de são:
i. ; ii. Os planos que contem a origem; iii. As retas que passam pela origem dos eixos coordenados; iv. A origem dos eixos coordenados.
Exemplo: Verifique se o subconjunto A= é um subespaço vetorial de .

Exemplo: Verifique se o subconjunto B= é um subespaço vetorial de .

Exercícios
1. Verifique se o subconjunto A=