solutuion guidorizzi vol 2 cap 2

CAPÍTULO 3
Exercícios 3.1
1.
a)

ϱ

Ú1

1 dx ϭ lim x3 tÆϱ

t

Ú1

1 dx ϭ lim x3 tÆϱ

ÏÔÈ xϪ2 ù t ¸Ô
ÌÍϪ
ý
2 úû1 Ô
ÓÔÎ
þ

1
1
1 ϭ lim ÊϪ 2 ϩ ˆ ϭ .
Ë
¯
2t
2
2
tÆϱ

c)

ϱ

Ú0

eϪsx dx ϭ lim

tÆϱ

ÏÔÈ eϪsx ù t ¸Ô eϪsx dx ϭ lim ÌÍϪ ý 0 s úû 0 Ô t Æ ϱ ÔÎ
Ó
þ

Ú

t

1
1
1 eϪst ϭ lim ÈÍϪ st ϩ ùú ϭ , pois lim ϭ 0. sû s t Æ ϱ Î se tÆϱ s

d)

ϱ

Ú1

1 t Ϫ t 1 dx ϭ lim x 2 dx ϭ lim ÏÌ 2 x ¸ý
1þ
x tÆϱ 1 tÆϱ Ó

[

]

[

Ú

]

= lim = 2 x Ϫ 2 ϭ ϱ . tÆϱ e)

ϱ

Ú1

teϪt dt ϭ lim

s

Ú teϪt dt

sÆϱ 0

È ϭ lim ÍteϪt ϩ sÆϱ Î

Ú

pois lim seϪs ϭ 0 e

n)

s

ù eϪt dt ú ϭ lim seϪs Ϫ eϪs ϩ 1 ϭ 1,
0
û 0 sÆϱ s [

]

lim eϪs ϭ 0

sÆϱ

sÆϱ

ϱ

Ú

t x x dx ϭ lim dx. 4
0 1ϩ x t Æϱ 0 1ϩ x 4

Ú

Façamos a mudança de variável x2 ϭ tg y Þ 2x dx ϭ sec2 y dy Þ x dx ϭ
1 ϩ x4 ϭ 1 ϩ tg2 y ϭ sec2 y

sec 2 y dy
2

xϭ0 Þ xϭt Þ t Ú0

Logo, ϭ yϭ0 y ϭ arctg t2 arctg t 2

Ú0

x dx ϭ
1ϩ x 4

sec 2 y dy È 1 ϭÍ 2 sec 2 y
Î2

arctg t 2

y ùú û0 1 arctg t2.
2

Portanto, ϱ Ú0
q)

x
1
1 ␲ ␲ dx ϭ lim arctg t 2 ϭ ◊ ϭ .
1ϩ x 4
2 2
4
tÆϱ 2 ϱ t
1
dx dx dx ϭ ϭ lim 3
2
1 x ϩx
1 x ( x ϩ 1) t Æ ϱ 1 x ( x 2 ϩ 1)

Ú

ϱ

Ú

Ú

[

t x dx ù
È t dx
Ï
t
2
ϭ lim Í
Ϫ
ú ϭ lim Ì[ln x ]1 Ϫ ln x ϩ 1
1 x 2 ϩ1 û tÆϱ Ó tÆϱ Î 1 x

Ú

Ú

Ê ϭ lim ln t Ϫ ln t 2 ϩ 1 ϩ ln 2 ϭ lim Á ln t Æϱ t Æϱ Ë

{

}

Ê
Á pois ln lim tÆϱ Ë

ϭ ln 1 ϩ ln 2 ϭ ln 2

ϱ

Ú1

2.

1 dx ϭ lim x␣ tÆϱ

t

Ú1

Se 1 Ϫ ␣ ϭ 0, temos
(␣ ϭ1)

] ¸ýþ t 1

ˆ ϩ ln 2 ˜ t 2 ϩ1
¯
t

ˆ ϭ ln 1 ϭ 0˜ . t 2 ϩ1
¯
t

È t1Ϫ␣
1
1 ù ϭ lim
Ϫ
(␣ π 1). dx Í
␣
1 Ϫ ␣ úû x tÆϱ Î 1 Ϫ␣ ϱ dx t dx ϭ lim ϭ lim ln t ϭ ϱ .
1 x tÆϱ 1 x tÆϱ Ú

Ú

0

Se (1 Ϫ ␣ ) Ͻ 0, temos lim t Æϱ
(␣ Ͼ 1)

t

Ú1

Se (1 Ϫ ␣) Ͼ 0, temos lim t Æϱ
(␣ Ͻ 1)

È
1
1 ù
1
dx ϭ lim Í
Ϫ
. úϭ x a t Æϱ Î (1 Ϫ ␣ )tȊ1Ϫ␣Ȋ 1 Ϫ ␣ û ␣ Ϫ 1 t Ú1

È t1Ϫ␣ dx 1 ù ϭ lim
Ϫ
ϭ ϱ. x a t Æϱ ÍÎ 1 Ϫ ␣ 1 Ϫ ␣ úû

Portanto,
Ï 1
1
Ô ϭ dx
Ì␣ Ϫ1
␣
1 x
ÔÓϱ

Ú

ϱ

se ␣ Ͼ 1 se ␣ р 1.

15

3.
Ϫ1

Ϫ1

ÚϪϱ x 5 dx ϭ tÆlimϪϱ Út

b)

1

xϪ5 dx

1
1
1 ϭ lim ÈÍϪ ϩ 4 ùú ϭϪ .
4t û
4
t ÆϪϱ Î 4
1
Ϫ1 Ϫ
1
3 dx ϭ lim dx x ϭ lim
c)
Ϫϱ 3 x t ÆϪϱ t t ÆϪϱ
Ϫ1

Ú

Ú

ÏÈ
2 Ϫ1 ¸