solutuion guidorizzi vol 2 cap 2

CAPÍTULO 2
Exercícios 2.1
1.
2

a)

Ú0

ÏÔ2 f ( x ) dx, onde f ( x ) ϭ Ì 1
ÔÓ x

se

0 р x Ͻ1

se

1р x р 2

f é integrável em [0, 2], pois é limitada e descontínua apenas em x ϭ 1.
2

Temos

1

2

Ú0 f ( x ) dx ϭ Ú0 f ( x ) dx ϩ Ú1 f ( x ) dx

Em [0, 1], f(x) difere de 2 apenas em x ϭ 1. Daí,
1

Ú0

f ( x ) dx ϭ

1

Ú0 2 dx ϭ [2 x]0 ϭ 2
1

1
. Logo, x Em [1, 2], f(x) ϭ
1

2

Ú0 f ( x ) dx ϭ Ú1

dx
2
ϭ [ln x ]1 ϭ ln 2 x 2

Portanto,

c)

Ú0 f ( x ) dx ϭ 2 ϩ ln 2.

Ï x
Ô
f ( x ) dx, onde f ( x ) ϭ Ì 1 ϩ x 2
Ϫ1
ÔÓ5

Ú

3

se x π 1 se x ϭ 1

f é integrável em [Ϫ1, 3], pois é limitada e descontínua apenas em x ϭ 1.
3
1
3
x x f ( x ) dx ϭ dx ϩ dx 2
Ϫ1
Ϫ1 1 ϩ x
1 1ϩ x 2
1
3
1
1 ϭ ln (1 ϩ x 2 ) ϩ ln (1 ϩ x 2 )
Ϫ
1
1
2
2
1
1
ϭ [ln 2 Ϫ ln 2] ϩ [ln 10 Ϫ ln 2]
2
2
1
ϭ ln 5.
2

Ú

Ú

[

]

Ú

[

]

ÏÔ 1 g(u) du, onde g(u) ϭ Ì u 2
Ϫ2
ÓÔu

Ú

d)

se Ȋ u Ȋ у 1

2

se Ȋ u Ȋ Ͻ 1

g é integrável em [Ϫ2, 2] pois g é contínua em [Ϫ2, 2].
Ï 1
Ô u2
Ô
Temos g(u) ϭ Ìu
Ô 1
ÔÓ u 2

se u р Ϫ1 se Ϫ1 Ͻ u Ͻ 1 se u у 1

Logo,
Ϫ1

2

1

2

ÚϪ2g(u) du ϭ ÚϪ2 u2 ϩ ÚϪ1u du ϩ Ú1 du du u2 1 Ϫ1 È u 2 ù
1 2 ϭ ÈÍϪ ùú ϩ Í ú ϩ ÈÍϪ ùú
Î u ûϪ2 Î 2 ûϪ1 Î u û1
1

ϭ1 Ϫ

1 1 1 1 ϩ Ϫ Ϫ ϩ 1 ϭ 1.
2 2 2 2

2.

Ï2 f (t ) dt, onde f (t ) ϭ Ìt
Ϫ1
Ó2

Ú

b)

x

se Ϫ1 р t р 1 se t Ͼ 1

Para todo x у Ϫ1, f é integrável em [Ϫ1, x], pois, neste intervalo, f é limitada e descontínua no máximo em um ponto. Temos:
Ï
ÔÔ f (t ) dt ϭ Ì
Ϫ1
Ô
ÔÓ

Ú

x

x

Como

ÚϪ1

segue que:

x

ÚϪ1t 2 dt
1
x
2 dt ϩ t ÚϪ1
Ú1 2 dt

t 2 dt ϭ

x3 1 ϩ ;
3
3

1

se Ϫ1 р x р 1 se x Ͼ 1

ÚϪ1

t 2 dt ϭ

2 e 3

Ï x3 1
Ô ϩ 3 se Ϫ1 р x р 1 f (t ) dt ϭ Ì 3
4
Ϫ1
Ô2 x Ϫ se x Ͼ 1
3
Ó

Ú

c)

x

Ï2 f (t ) dt, onde f (t ) ϭ Ìt se Ϫ1 р t р 1
0
Ó2 se t Ͼ 1

Ú

x

5

x

Ú1 2 dt ϭ 2 x Ϫ 2

Para todo x у Ϫ1 f é integrável em [x, 0], se x р 0, e em [0, x], se x Ͼ 0, pois nestes intervalos f é limitada e descontínua no máximo em um ponto.

x

Ú0

Ï
Ô
f (t ) dt ϭ Ì
Ô
Ó x Temos

x

Ú0 t 2 dt
1
x
Ú0 t 2 dt ϩ Ú1 2 dt

Ú0 t 2 dt ϭ

x3
;
3

1

se Ϫ1 р x р 1 se x Ͼ 1

x