Solu O Do Livro De An Lise Real

Páginas: 214 (53439 palavras) Publicado: 22 de julho de 2015
Solu¸co˜es dos exerc´ıcios de An´alise do livro An´alise real
volume 1 de Elon Lages Lima.
Rodrigo Carlos Silva de Lima



Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com


8 de dezembro de 2011

1

Sum´
ario
1 Solu¸co
˜es-An´
alise Real Volume 1 (Elon fino)

5

1.1

Nota¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Cap´ıtulo1-Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1


umeros naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3

Conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.4

Conjuntos enumer´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14

1.3

1.4

1.5

1.6

Cap´ıtulo 2-N´
umeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1

R ´e um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.2

R ´e um corpo ordenado

1.3.3

R ´e um corpo ordenado completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Cap´ıtulo 3-Sequˆencias . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.1

Limite de uma sequˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4.2

Limites e desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4.3

Opera¸c˜oes com limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4.4

Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Cap´ıtulo4-S´eries num´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.5.1

S´eries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.5.2

S´eries absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.5.3

Teste de convergˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.5.4

Comutatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 61

Cap´ıtulo 5-Algumas no¸c˜oes topol´ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.6.1

Conjuntos abertos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.6.2

Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2

´
SUMARIO

1.7

1.8

1.9

3

1.6.3

Pontos de acumula¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1.6.4

Conjuntoscompactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.6.5

O conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Cap´ıtulo 6-Limite de fun¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.7.1

Defini¸c˜ao e primeiras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1.7.2

Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

1.7.3

Limites no infinito, limites infinitos, etc. . . . . . . . . . . . . . . . 85

Cap´ıtulo 7-Fun¸c˜oes cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.8.1

Defini¸c˜ao e primeiras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

1.8.2

Fun¸co˜es cont´ınuas num intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

1.8.3

Fun¸co˜es cont´ınuas em conjuntos compactos . . .. . . . . . . . . . . 95

1.8.4

Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Cap´ıtulo 8-Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.9.1

A no¸c˜ao de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

1.9.2

Regras operacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

1.9.3

Derivada e crescimentolocal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

1.9.4

Fun¸co˜es deriv´aveis num intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

1.10 Cap´ıtulo 9-F´ormula de Taylor e aplica¸c˜oes da Derivada . . . . . . . . . . . 120
1.10.1 F´ormula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
1.10.2 Fun¸co˜es cˆoncavas e convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126...
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