calculo numerico

Introdu¸˜o ca A an´lise num´rica ´ a disciplina da matem´tica que se ocupa da elabora¸ao e estudo de a e e a c˜ m´todos que permitem obter, de forma efectiva, solu¸oes num´ricas para problemas matem´e c˜ e a ticos, quando por uma qualquer raz˜o n˜o podemos ou n˜o desejamos usar m´todos anal´ a a a e ıticos. Para perceber melhor o que se pretende dizer por de forma efectiva, consideremos o problema do c´lculo do determinante. Como ´ sabido (ser´?), o determinante de uma matriz a e a quadrada A = (aij )n
´ dado pela express˜o e a i,j=1 det (A) =

±a1i1 · · · anin ,

onde a soma ´ efectuada sobre todas as n! permuta¸oes (i1 , . . . , in ) dos n´meros 1, 2, . . . , n. e c˜ u Esta f´rmula te´rica s´ permite o c´lculo ef ectivo do determinante se a dimens˜o da matriz o o o a a for muito pequena. Por exemplo, se n = 25 o n´mero de permuta¸oes poss´ u c˜ ıveis ´ superior a e 15 quatrili˜es (como ´ que se escreve este n´mero?)! Se possuirmos uma m´quina que calcule o e u a cada termo da express˜o anterior num bilion´simo de segundo (coisa que nem remotamente a e os actuais computadores conseguem fazer), para calcular todas as parcelas necessitamos de
15 bili˜es (como ´ que se escreve este n´mero?) de segundos, ou seja 400.000 anos! o e u Os problemas que a an´lise num´rica pretende dar solu¸ao s˜o geralmente origin´rios a e c˜ a a das ciˆncias naturais e sociais, da engenharia, das finan¸as, e, como foi dito, n˜o podem, e c a geralmente, ser resolvidos por processos anal´ ıticos. Exemplo 1.1 (Lei da gravita¸˜o universal) Um dos primeiros e mais importantes modelos ca matem´ticos para problemas da f´ a ısica foi dado por Newton para descrever o efeito da gravidade.
De acordo com esse modelo, a for¸a da gravidade exercida pela Terra num corpo de massa m tem c a magnitude m × mt
,
F =G d2 onde mt ´ a massa da Terra, d a distˆncia entre os centros dos dois corpos e G a constante de e a