Sistemas14 18

Sistemas - ALGA - 2004/05

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Sistemas de equações lineares
Uma equação linear nas incógnitas ou variáveis x1 ; x2 ; :::; xn é uma expressão da forma: a1 x1 + a2 x2 + ::: + an xn = b onde a1 ; a2 ; :::; an ; b são constantes reais.
Uma solução de uma equação linear a1 x1 + a2 x2 + ::: + an xn = b é uma sequência
(s1 ; s2 ; :::; sn ) de números reais tal que a1 s1 + a2 s2 + ::: + an sn = b.
Um sistema de equações lineares nas incógnitas x1 ; x2 ; :::; xn é um conjunto …nito de equações lineares nas incógnitas x1 ; x2 ; :::; xn .
Uma solução de um sistema de equações lineares
8
> a11 x1 + a12 x2 + ::: + a1n xn = b1
>
>
>
< a21 x1 + a22 x2 + ::: + a2n xn = b2
..
>
.
>
>
>
:
am1 x1 + am2 x2 + ::: + amn xn = bm

é uma sequência (s1 ; s2 ; :::; sn ) de números reais que é solução de cada uma das equações lineares, ou seja tal que
8
> a11 s1 + a12 s2 + ::: + a1n sn = b1
>
>
>
< a21 s1 + a22 s2 + ::: + a2n sn = b2
..
>
.
>
>
>
:
am1 s1 + am2 s2 + ::: + amn sn = bm

Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se têm o mesmo conjunto de soluções.
Um sistema de equações lineares pode-se classi…car em:
- sistema impossível - não tem qualquer solução.
- sistema possível e determinado - tem uma única solução.
- sistema possível e indeterminado - tem mais do que uma solução.
Chama-se solução geral ou conjunto solução de um sistema de equações lineares ao conjunto de todas as suas soluções e tem-se, para um sistema de equações em R:
- Se o sistema é impossível - o conjunto solução é vazio.
- Se o sistema é possível e determinado - o conjunto solução tem um elemento.
- Se o sistema é possível e indeterminado - o conjunto solução é in…nito.

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Forma matricial de um sistema de equações lineares
Um sistema de equações lineares
8
> a11 x1 + a12 x2 + ::: + a1n xn = b1
>
>
>
< a21 x1 + a22 x2 + ::: + a2n xn = b2
..
>
.
>
>
>
:
am1 x1 + am2 x2 + ::: + amn xn = bm

pode ser representado na forma
2
a11 a12
6
6 a21 a22
6 .
..
6 .
.
4 .
|

a1n
..

.

am1