Sistem 2ª Ordem

Aula 06
Resposta no Tempo
Sistema de 2a Ordem
Parâmetros de Desempenho
Prof. Ricardo N. Paiva

1

Parâmetros da resposta
• Os parâmetros ωn e ξ já foram definidos
• Agora vamos definir os demais parâmetros associados a uma resposta subamortecida de um sistema de 2a ordem:
•

UP: Ultrapassagem percentual •

Tp: Instante de pico

•

Ts: Tempo de acomodação •

Tr: Tempo de subida

•

Tr, Ts e Tp fornecem informação a respeito da velocidade da resposta transitória

2

Resposta subamortecida ξ < 1
• O sistema de 2a ordem é dado por:
2
ωn

G(s) =

2 s2 + 2ξωns + ωn os zeros do denominador (polos) são dados por :

s1,2 = −ξωn ± ωn ξ 2 − 1

• A resposta C(s) ao degrau unitário é dada por:
C(s) =

2 ωn 2 ωn =
2 + 2ξω s + ω 2)
(
ss
(
s s + ξωn − ωn ξ 2 − 1)(s + ξωn + ωn ξ 2 − 1) n n a3 a a2 +
C(s) = 1 + s (s + ξωn − ωn ξ 2 − 1) (s + ξωn + ωn ξ 2 − 1)

3

Resposta subamortecida ξ < 1
• A resposta C(s) ao degrau unitário é dada por:
(s + ξωn) +
1
C(s) =
−
s

ξ

ωn ξ 2 − 1

1 − ξ2
2
2
(s + ξωn) + ωn(1 − ξ 2)

aplicando a transformada de Laplace inversa tem - se : c t) = 1 −
(

1

e

1 − ξ2

− ξωnt t cos[(ωn ξ 2 − 1) − φ]

onde

φ = tg − 1(

ξ

)

1 − ξ2

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Resposta subamortecida ξ < 1
•
•
•
•

Na figura abaixo aparece um gráfico da resposta no tempo c(t) de um sistema subamortecido para vários valores de ξ.
O eixo dos tempos está normalizado em função de ωnt.
A freqüência natural ωn é um fator de escala e não afeta a natureza da resposta.
Vê-se que quanto menor o valor de ξ, tanto mais oscilatória será a resposta (pois menor o amortecimento e conseqüente perda de energia).

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Instante de pico, Tp
• Tempo necessário para alcançar o primeiro valor máximo (pico)
• O valor de Tp é encontrado derivando-se a expressão c(t) e obtendo o primeiro instante de passagem por zero depois de t= 0.

Tp =

π ωn 1 − ξ

2

6