Sinais, filtragem

Páginas: 24 (5768 palavras) Publicado: 2 de maio de 2013
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA DE PORTO ALEGRE DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA SISTEMAS E SINAIS – ENG04006


INTRODUÇÃO

Um recurso largamente usado em tratamento de sinais é a filtragem. Assim, projetar um filtro é uma habilidade importante ao engenheiro que decide trabalhar nessa área, e o MatLab é uma ferramenta de grande auxílio para essa tarefa.Nesse trabalho, exemplificaremos o projeto de três filtros: passa-baixa, passa-alta e passa-faixa, de acordo com as especificações dadas. Primeiramente, projetamos os filtros analógicos de Butterworth. Obtivemos as funções de transferências e os gráficos de resposta em frequência. A seguir, discretizaremos esses filtros pelo método de Tustin e aplicamos um sinal de áudio em cada filtro para ouvir oresultado. Por fim, obtivemos as respectivas respostas ao impulso de cada filtro e extraímos os coeficientes para os filtros FIR correspondentes. Avaliamos as repostas em frequência empregando a janela Retangular e a de Hamming.

2

DESENVOLVIMENTO

1. Filtros

De modo a obter uma entrada apropriada para três alto-falantes diferentes, um para frequências baixas (f < 500Hz), um parafrequências médias(500Hz < f < 5kHz) e uma para frequências altas (f > 5kHz), iremos, neste exercício, projetar três filtros de Butterworth: um passa-baixa (A), uma passa-faixa (B) e um passa-alta (C). Para a obtenção destes filtros, iremos seguir as especificações dada pela Tabela 1 e utilizar o arquivo bigbang.wav disponível na página da disciplina de Sistemas e Sinais (ENG04006).

EspecificaçõesVariação Máxima na Faixa de Passagem, |H(jω)|ω=ωp (dB) Máximo Ganho na Faixa de Rejeição, |H(jω)|ω=ωs (dB) fp1 (Hz) fs1 (Hz) fp2 (Hz) fs1 (Hz)

Passa-baixas Passa-faixa Passa-altas -0.2228 -13.01 300 750 Tabela 1: Dados dos filtros.

-0.2228 -13.01 750 300 3000 7500

-0.4576 -10.00 7500 3000 -

1. a) Neste item, projetaremos os três filtros analógicos, passa-baixa (A), passa-faixa (B) epassa-alta (C), a partir das especificações dadas na Tabela 1. Iremos fazer dois projetos para cada filtro, o primeiro utilizando a formulação para |H(jω)|, conforme apresentado na Figura 1 que usa como exemplo um gráfico do filtro passa-baixa, e o segundo utilizando a formulação para |H(jω)|2, conforme apresentado na Figura 2, que também utiliza como exemplo um gráfico do filtro passa baixa.

3 Figura 1: Filtro passa-baixa para |H(jω)|.

Figura 2: Filtro passa-baixa para |H(jω)|2.

1.a.A) Projeto do Filtro Passa-Baixa: Projetaremos primeiramente o filtro passa-baixa utilizando a formulação para |H(jω)|. Temos que as constantes ε, δ, ωp e ωs são dadas pelas especificações na Tabela 1. Devemos ter o cuidado de notar que os valores dos ganhos estão em dB, ou seja, estão na suarepresentação logarítmica (20log|H(jω)|), e precisamos dos valores originais de magnitude de |H(jω)| para calcular as constantes. Os valores de ε, δ, ωp e ωs serão: ( )
| ( )| | ( )|

A partir dos valores de ε, δ, ωp e ωs, podemos determinar a ordem do filtro, que é dado pela fórmula:
4

(

(

(

) ( (

) )

)

)

Portando, o filtro será de ordem N = 4. Também devemos estipular afrequência de corte ωc do filtro. Para isso, iremos calcular a frequência de corte associada à frequência de passagem ωcp e a frequência de corte associada à frequência de rejeição ωcs, de modo a estabelecer o intervalo em qual frequência de corte ωc do filtro se encontra. As frequências ωcp e ωcs são dadas pelas seguintes fórmulas:

( (

)

)

(

)

Logo, os valores de ωcp e ωcs são:Portanto, a frequência de corte em rad/s encontra-se no intervalo: [ ]

Pegaremos um valor para frequência de corte que esteja no meio desse intervalo, ou seja, a média aritmética entre ωcp e ωcs:

Com a ordem do filtro e a frequência de corte obtemos a função transferência HPB(s), que com ordem N=4, será da forma: ( ) Obtivemos a função transferência do filtro passa-baixa utilizando a função...
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