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1.1 Limites e continuidade

Os conceitos de limite e continuidade são generalizáveis a campos escalares e vectoriais.

Definição 1.1.1: Seja um ponto de acumulação do domínio S de uma função . Diz-se que é limite de no ponto (ou quando tende para ) e escreve-se ou , se para cada existe tal que para todos os pontos tais que , que é o mesmo que
.

Nota: Não exigimos que a função esteja definida em . Note-se ainda que tende para por valores diferentes de , e por isso .

Exemplo: Em particular, no caso de m= 1 e n = 2, pode escrever-se se

Observação: Nos problemas em que temos que recorrer à definição de limite, vai-se majorando até se obter uma expressão em . Para isso, são muitas vezes úteis as desigualdades:

Proposição 1.1.1 (Critério por sucessões): se e só se para cada sucessão , de elementos em , se tiver .

Exemplo 1: Prove, atendendo à definição de limite, que .

Para melhor compreendermos a definição de limite pensem num campo escalar definido num subconjunto de (neste caso, escrevemos em vez de e em vez de ), e consideremos o seguinte exemplo: suponhamos que uma chapa metálica plana tenha a forma da região . A cada ponto da chapa corresponde uma temperatura , que é registrada num termómetro representado pelo eixo .

Se a temperatura se aproxima de um valor fixo L, quando se aproxima de , utilizamos a seguinte notação: ou ,

e lê-se o limite de quando tende para é . (1)

Isto significa que, para arbitrário, consideramos o intervalo aberto no eixo w, e se se verifica (1), existe tal que para todo o ponto interior à bola de raio com centro em , excepto possivelmente o próprio , o valor funcional está no intervalo .

Isto quer dizer, a distância de a L pode ser arbitrariamente pequena desde que a distância de a seja suficientemente pequena.

Para funções reais de uma variável, a aproximação de a é feita por valores à esquerda ou