Resumointegraisduplas 20140901141608

Faculdade Pitágoras - Campus Betim
NATUREZA DO TRABALHO: Resumo integrais duplas - Atividade Orientada
Profº: Márcio Cometti

Disciplina: Cálculo III

Nome: ___________________________________________________________________
Curso:
Data:
Valor:
Resultado obtido:

Integrais Duplas b Anteriormente estudaram-se os integrais da forma

 f  x  dx

quer para funções definidas e limitadas em

a

intervalos limitados quer para funções não limitadas em intervalos ilimitados. Em seguida generalizou-se o conceito de integral introduzindo os integrais de linha. Agora estudaremos integrais em que, em vez de intervalos unidimensionais a , b  teremos um conjunto bidimensional R, chamado região de integração, e a função integranda é um campo escalar definido e limitado em R. O integral resultante diz-se integral duplo e representa-se por



f

R

ou por

 f  x , y  dxdy
R

Vamos considerar dois tipos de regiões em IR 2 :


Rx ou Tipo I ou regular segundo o eixo dos yy y y  2  x 
Rx

y  1  x  a b

x

1

Como mostra o gráfico uma região do Tipo I é definida por

Rx   x , y   IR 2 : a  x  b  1  x   y  2  x  , onde 1  x  e 2  x  são funções contínuas x  a, b  com 1  x   2  x  x  a, b  .

Ry ou Tipo II ou regular segundo o eixo dos xx y d

x 1  y 

Ry

x  2  y 

c x Como mostra o gráfico uma região do Tipo II é definida por
Ry   x , y   IR 2 : c  y  d   1  y   x   2  y  ,

onde  1 e  2 são funções contínuas em c , d  com  1  y    2  y  y  c , d  .

É óbvio que o domínio pode ser simultaneamente do Tipo I e do Tipo II (ex.: regiões limitadas por circunferências, elipses, ...), e nesse caso podemos escolher entre qual dos tipos queremos considerar.
Noutras situações, a região terá de ser decomposta numa reunião de regiões de um ou de outro tipo.

2

Cálculo de Integrais Duplas
1ºCaso
Seja f uma função contínua definida numa região rectangular fechada R  a, b   c, d  . Mostra-se que