Resumo Derivadas
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Derivável ou diferenciável: 𝑓 ′ (𝑥) existe em um ponto x ou em um intervaloContínua: 𝑓(𝑥) é derivável em x e lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 )
𝑑𝑓(𝑥 )
=
ℎ→0
ℎ
𝑑𝑥
′(
𝑓 𝑥 ) = lim
𝑓(𝑥 ) = 𝑥 𝑛 então
𝑑(𝑐)
𝑑𝑥
𝑑[𝑐.𝑓(𝑥)]
=0
𝑑𝑥
𝑑𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
+
=
𝑓 ′ (𝑥 ) = 𝑛. 𝑥 𝑛−1
𝑐.𝑑𝑓(𝑥)
𝑑(𝑎𝑥 )
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑔(𝑥)
𝑑𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
=
= 𝑎 𝑥 . ln 𝑎
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
−
𝑑𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
Produto e quociente:
𝑓(𝑥)
𝑑[𝑓(𝑥) .𝑔(𝑥)]
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
. 𝑔(𝑥 ) + 𝑓(𝑥 ) .
𝑑𝑔(𝑥)
𝑑 [ 𝑔(𝑥) ]
𝑑𝑥
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓(𝑥)
.
𝑑𝑥
𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥) .
𝑑𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
[𝑔(𝑥)]2
Trigonométricas:
𝑑[sen(𝑥)]
𝑑𝑥
𝑑[cos(𝑥)]
= cos(𝑥 )
𝑑𝑥
= −sen(𝑥 )
𝑑[tg(𝑥)]
𝑑𝑥
= sec 2 (𝑥 )
Logarítmicas:
𝑑 (log 𝑎 𝑥 )
1
=
𝑑𝑥
𝑥. ln 𝑎
Regra da cadeia:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦 𝑑𝑣
.
𝑑𝑣 𝑑𝑥
𝐹 (𝑥 ) = 𝑓𝑜𝑔
ou se
então
𝐹 ′ (𝑥 ) = 𝑓 ′ [𝑔(𝑥 )] . 𝑔′ (𝑥 )
Exponencial composta:
𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
então
𝐹 ′ (𝑥) = 𝑔(𝑥). 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)−1 . 𝑓 ′ (𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) . ln 𝑔(𝑥) . 𝑔′(𝑥)
Ordem superior:
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑( 𝑑𝑥 )
𝑑𝑥
Daniel L. Zanoello
=
𝑑2 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 2
𝑓 𝑛 (𝑥 ) =
𝑑𝑛 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 𝑛
Reta tangente de 𝑦 = 𝑓(𝑥) em [𝑎, 𝑓(𝑎)]:
𝑦 = 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎). (𝑥 − 𝑎) normal: 𝑚𝑛 . 𝑓 ′ (𝑎) = −1
Derivação implícita: (y não está isolado) derivar dos dois lados
𝑥 2 + 𝑦 = 3𝑥𝑦 → (𝑥 2 + 𝑦)′ = (3𝑥𝑦)′
Trigonométricas inversas:
𝑑[𝑎𝑟𝑐 sen(𝑥)]
𝑑𝑥
=
1
𝑑[𝑎𝑟𝑐 cos(𝑥)]
√1−𝑥 2
𝑑𝑥
=
−1
𝑑[𝑎𝑟𝑐 tg(𝑥)]
√1−𝑥 2
𝑑𝑥
Máximos, mínimos e ponto crítico:
Se 𝑐 é um ponto crítico, então: 𝑓 ′ (𝑐) = 0 ou 𝑓 ′ (𝑐 ) ∄
Daniel L. Zanoello
=
1
1+𝑥 2