Derivada

Capítulo 3

DERIVADAS
A derivada de uma função é considerada a ferramenta mais importante do cálculo diferencial. Essa popularidade é resultado das inúmeras aplicações dessa poderosa ferramenta.
Por exemplo, o desenvolvimento de novos aparelhos e o aperfeiçoamento dos já existentes, de alguma forma, depende do conhecimento da derivada de uma função.
É interessante saber que a derivada nasceu de uma idéia bem simples: o cálculo do coeficiente angular de uma reta usando limites.
CONCEITO DE DERIVADA
Antes de formalizar a definição de derivada, vamos começar com um exemplo numérico.
EXEMPLO

Considere a seguinte função: f (x) = x 2
Primeiramente, vamos escolher dois valores de x: x 0 = 1 e x1 = 2
Os valores de y correspondentes a esses pontos são: y 0 = f (1) = 12 = 1 e y1 = f (2) = 2 2 = 4
Então, a curva da função passa pelos pontos:
P = ( x 0 , y 0 ) = (1,1)
Q = ( x 1 , y1 ) = (2,4)
Podemos traçar uma reta que passa por P e Q cujo coeficiente angular é dado por:
∆y y1 − y 0 4 − 1 3 m= =
=
= =3
∆x x 1 − x 0 2 − 1 1
O denominador do coeficiente angular é igual a:
∆x = x 1 − x 0 = 1
Graficamente, podemos enxergar melhor essa situação:

Agora vamos fazer: x1 = 1,1
Então:
y1 = f (1,1) = 1,12 = 1,21

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS
Portanto, o ponto Q tem as seguintes coordenadas:
Q = ( x 1 , y1 ) = (1,1 , 1,21)
O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por:
∆y y1 − y 0 1,21 − 1 0,21 m= =
=
=
= 2,1
∆x x 1 − x 0
1,1 − 1
0,1
Sendo que:
∆x = x 1 − x 0 = 1,1 − 1 = 0,1
Novamente, vamos fazer: x 1 = 1,01
Então:
y1 = f (1,01) = 1,012 = 1,0201
As coordenadas do ponto Q são iguais a:
Q = ( x 1 , y1 ) = (1,1 , 1,0201)
O coeficiente angular da reta que passa por P e Q é dado por:
∆y y1 − y 0 1,0201 − 1 0,0201 m= =
=
=
= 2,01
∆x x 1 − x 0
1,01 − 1
0,01
Sendo que:
∆x = x 1 − x 0 = 1,01 − 1 = 0,01
Vamos colocar todos os resultados obtidos na seguinte tabela:
∆x
1
0,1
0,01
...
0

m
3
2,1
2,01
...