Resolução de um Problema de Competição Matemática Envolvendo Múltiplas Composições de Função

Resolução de um Problema de Competição Matemática Envolvendo
Múltiplas Composições de Função
Crislânio de Souza Macêdo,Críston Pereira de Souza
Universidade Federal do Ceará (UFC)
Caixa Postal 15.064 – 91.501-970 – Ceará – CE – Brazil [e-mail],[e-mail] Resumo
Este trabalho trata-se da solução de um problema matemático proposto no torneio anual
Harvard-Mit de Matemática Olímpica. O texto ressalta o aspecto interdisciplinar do tema, enfocando as ideias e estudos expostos nas disciplinas de Matemática Básica e Matemática
Discreta.
Palavras-chave: Função. Matemática. Problema Olímpico
Abstract
This work is related to the solution of a mathematical problem proposed in the annual tournament
Harvard-MIT Mathematics Olympic.The text emphasizes the interdisciplinary aspect of the subject, focusing on the ideas and studies exposed in the disciplines of Basic Mathematics and Discrete
Mathematics.
Keywords : Function. Mathematics. Problem Olympic
Este trabalho apresenta a resolução de um problema de competição matemática utilizando os conceitos de composição de função e sequências [2], assuntos estudados nas disciplinas de matemática básica e matemática discreta. Este problema, definido abaixo, foi proposto no torneio das universidades Harvard e MIT (Massachusetts Institute of Technology) no ano de 2011 [1].
PROBLEMA: Para todos os números reais x, seja f(x)=

1
2011

√1−x 2011

.

Calcule F =( f ( f ( f (... f (2011)))))2011 ,onde f é aplicada 2010 vezes.
Embora o problema proposto tenha enunciado simples, as soluções conhecidas para ele exigem vários passos e criatividade. Consideramos que a resolução apresentada a seguir é simples, mas chegar a esta resolução pela primeira vez é desafiador.
DEMONSTRAÇÃO [3]:
Denotamos a composição de funções da maneira indicada abaixo:
2

f 1 ( x)= f ( x )= f

3

f = f ( f ( x))= f ∘ f

f = f ( f ( f ( x)))= f ∘ f ∘ f

f n= f ∘ f ∘ f f ∘ f ...∘ f
Utilizando esta