Raízes determinantes

Existe um produto de matrizes que representa qualquer sistema linear; sendo assim, analisaremos e classificaremos o sistema linear de acordo com o determinante da matriz dos coeficientes das equações. Você deve estar se perguntando: “Como assim?”. Portanto, veja abaixo as matrizes que representam um sistema 2x2 (2 equações e 2 incógnitas).

Portanto, nossa análise será pautada no determinante da matriz dos coeficientes.

De acordo com o determinante D, teremos as seguintes situações:

Como foi dito, poderemos ter esses coeficientes em forma de uma incógnita, e através dessa incógnita determinar parâmetros para esse determinante. Vejamos um exemplo para que possamos compreender tais termos.

1- Discuta o sistema, analisando quais são os valores m e k.

Temos que determinar o valor do determinante D e analisar os parâmetros. Portanto, temos que:

Assim, para obtermos um sistema possível e determinado basta termos um valor diferente de 6 para o coeficiente (m).

Contudo, caso m seja igual a 6 (m = 6), teremos D = 0, portanto devemos determinar qual será a classificação desse sistema (SPI ou SI).

Substituindo por 6, temos:

Escalonando esse sistema, obteremos:

Da equação (1) podemos obter duas possibilidades:

1) O valor de k satisfaz a equação (1), ou seja: para k=2 teremos 0=0, e com isso o sistema se reduz apenas à primeira equação, obtendo, assim, um Sistema Possível Indeterminado (SPI).

2) Caso o valor de k seja diferente de 2, teremos uma equação falsa, que nunca será satisfeita, como por exemplo (0 =1), caracterizando então um Sistema Impossível.

Sendo assim, discutindo o sistema temos as seguintes