Questões de matrizes

Problema 1 : Mostre que em uma reunião com n pessoas (n > 2), há sempre duas pessoas (pelo menos) que têm o mesmo número de amigos naquele grupo. (5 pontos)

Resposta:

Consideremos um grupo com 5 pessoas {A,B,C,D,E}, sem perda de generalidade suponhamos que a pessoa A não tenha amigos, logo as outras 4 pessoas podem ter 1, 2 ou 3 amigos cada, nenhum dos restantes pode ter 4 amigos pois a pessoa A não é amigo de ninguém. Assim, o número de amigos são 0, 1, 2, 3 para 5 pessoas. Logo, pelo menos duas pessoas terão o mesmo número de amigos.

Por outro lado, suponha que a pessoa A tenha exatamente 4 amigos, logo as outras 4 pessoas podem ter 1, 2, 3 ou 4 amigos, pois não é possível que alguém tenha nenhum amigo afinal a pessoa A é amigo de todos do grupo. Assim, temos o número de amigos 1, 2, 3 ou 4 para 5 pessoas. Logo pelo menos duas pessoas terão o mesmo número de amigos.

Por último, caso nenhuma dessas pessoas tenha 0 ou 4 amigos, logo é possível que cada pessoa tenha 1, 2 ou 3 amigos, para um total de 5 pessoas e portanto ao menos 2 pessoas terão o mesmo número de amigos.

Problema 2 : É sorteado um número real entre 0 e 1, ou seja, um número real no intervalo ]0,1[. Qual a probabilidade de esse número ser racional? Explique como chegou a esta conclusão. (5 pontos)

Resposta:

Escolher um número que esteja entre todos os números reais entre 0 e 1, a aditividade contável implica que a probabilidade de obter um número racional, isto é, que pode ser representado como uma fração de dois números inteiros, é 0. No entanto, existe obviamente um número infinito desses números racionais na coleção. A ideia é a de que existem “muitos mais” números reais não fracionários do que frações. Assim, nestes contextos um acontecimento impossível tem uma probabilidade 0, mas nem todos os acontecimentos com probabilidade 0 são impossibilidades. E ter probabilidade 1 não significa que um acontecimento tenha necessariamente