Quadratica
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FUNÇÃO DO 2º GRAU A função f: R → R definida por f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c reais e a≠0 é FUNÇÃO QUADRÁTICA.Exemplos: f(x) = x² - 2x + 1 → (a = 1, b = - 2, c = 1 ); f(x) = x² - 7 → (a = 1, b = 0, c = - 7); f(x) = 9x² → (a = 9, b = 0, c = 0); f(x) = - 5x² → (a = - 5, b = 0, c = 0); f(x) = - 6x² - 3x → (a = - 6, b = - 3, c = 0).
O SISTEMA CARTESIANO
a>0
Exemplo: f(x) = x² + 1 x -2 -1 0 1 2 f(x) 5 2 1 2 5
1 -2 -1 0 1 2 x 2 y 5
a<0
Exemplo: f(x) = - x² + 1 y x -2 -1 0 1 2
f(x)
1
-3 0 1 0 -3
-2 -1 0
1 2 x
-3
OBSERVAÇÕES No 1º. exemplo, f(x) = x² + 1, temos a = 1 > 0, logo:
a>0
A parábola tem concavidade voltada para cima.
No 2º. exemplo, f(x) = - x² + 1, temos a = - 1 < 0, logo:
a<0
A parábola tem concavidade voltada para baixo.
ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Seja f(x) = ax² + bx + c, todo x torne f(x) = 0. Exemplo: f(x) = x² - 7x + 6, valores de x para f(x) = 0. • Resolução:
f(x) = x² - 7x + 6 f(x) = 0
= b² - 4ac = (- 7)² - 4.1.6 = 49 – 24 = 25
f(x) = f(x)
-b±√ 2a
x² - 7x + 6 = 0
- (-7) + √25
2.1
x=
x’ = x’ = x’ =
x” = x” =
- (-7) - √25 2.1 7-5 2
7+5
2
12
2
x” = 2 2 x” = 1
x’ = 6 • Conclusão:
Os números 6 e 1 são os zeros ou raízes da função, pois substituindo-se quaisquer dos valores em f(x), a função é anulada. Veja:
f(x) = x² - 7x + 6 f(6) = 6² - 7.6 + 6 f(6) = 36 – 42 + 6 f(6) = - 6 + 6 f(6) = 0
para x = 6, temos:
f(x) = x² - 7x + 6 f(1) = 1² - 7.1 + 6 f(1) = 1 – 7 + 6 f(1) = - 6 + 6 f(1) = 0
para x = 1, temos:
OBSERVAÇÕES: • > 0 → a função tem dois zeros reais distintos (x’ e x’’). • = 0 → a função tem um zero real duplo (x’ = x’’). • < 0 → a função não tem zero real. ESTUDO DO VÉRTICE DA PARÁBOLA As coordenadas do vértice A parábola, que denota o gráfico da função f(x) = ax²+bx+c, passa pelo vértice (V), de coordenadas:
xv = V (xv, yv) yv =
b (abscissa) 2a 4a (ordenada)
Δ>0
a>0 y a<0 y V
4a
eixo de simetria
0
x”
b 2a
x’
x
4a
0
V
x”
b 2a
x’
x
eixo de simetria
Δ=0 a>0 y eixo de simetria
a<0
y V 0 x’ = x” =