Prova OBMEP

a

OBMEP 2013 – 2 Fase
Soluções –Nível 1

1

N1Q1
a) A sequência é 4125 → 537 → 810 → 91 → 10 → 1
b) Os seis primeiros termos são 995 → 1814 → 995 → 1814 → 995 → 1814
c) Os primeiros termos da sequência são
33333 → 6666 → 121212 → 33333 → 6666 → … e vemos que os termos se repetem de três em três. Como 103 = 3 × 34 + 1, segue que o 103º termo dessa sequência é 33333.
N1Q2
a) Do 10º andar até o 15º andar há 6 andares, cada um com 25 quartos. Logo o número de quartos do 10º andar para cima é 6 × 25 = 150 .
b) O número de uma chave é formado pelo número do andar, de 1 a 15, seguido do número do quarto, de 01 a 25. Podemos dividir as chaves em quatro casos, como segue: 1. andar com 1, quarto sem 1
2. andar sem 1, quarto com 1
3. andar e quarto com 1
4. andar e quarto sem 1
Observamos os andares cujos números têm o algarismo 1 são 1, 10, 11, 12, 13, 14 e 15, num total de 7; segue que os andares sem 1 são em número de 15 − 7 = 8 .
Os quartos com 1 são 01, 10, 11,... , 19 e 21, num total de 12; os quartos sem 1 são então em número de 25 − 12 = 13 . O princípio fundamental da contagem nos permite saber quantas chaves aparecem em cada um dos grupos:
1. andar com 1, quarto sem 1: 7 × 13 = 91
2. andar sem 1, quarto com 1: 8 × 12 = 96
3. andar e quarto com 1: 7 × 12 = 84
4. andar e quarto sem 1: 8 × 13 = 104
Os três primeiros grupos consistem das chaves com 1, que são em número de
7 × 13 + 8 × 12 + 7 × 12 = 271 .
Podemos também proceder, observando que para obter o número de chaves com 1 basta retirar, do total de chaves, as chaves do grupo 4 acima. Como o número total de chaves é 15 × 25 , isso nos leva à conta 15 × 25 − 8 × 13 = 271.
c) O número total de chaves é 15 × 25 = 375 . Para obter o número de chaves procurado, primeiro eliminamos as chaves de quartos nos andares 11 e 13, que são em número de 2 × 25 = 50 . Restam 13 andares a considerar; devemos eliminar também as chaves dos quartos 11 ou 13 desses andares, o que nos dá
13 × 2