Prova Geometria Analitica

Minist´rio da Educa¸˜o e ca
Funda¸˜o Universidade Federal do Vale do S˜o Francisco - UNIVASF ca a
Pr´-Reitoria de Ensino - PROEN o Secretaria de Registro e Controle Acadˆmico - SRCA e Colegiado de Engenharia Civil Computa¸˜o - CECOMP // Colegiado de ca Engenharia Agr´ ıcola e Ambiental

Geometria Anal´ ıtica Gabarito da 1-Prova

Semestre: 2012.2

Professor: Beto Rober Bautista Saavedra

Turmas : A1-Ex

Lugar e Data : Juazeiro, 07/02/2013

Geometria do Plano.

Figura ♣

1. Na figura ♣, M, N, P s˜o as proje¸oes ortogonais dos v´rtices C, B, A respetivamente. a c˜ e −→ −→ − →
−
−
−
−
−
→
−
→
(a) Exprima BP , AN , CM em fun¸˜o de AB e AC. ca −→ −→
−
−
−→
−
(b) Prove que os vetores BP , AN e CM n˜o s˜o paralelos dois a dois. a a
(c) Prove que num triˆngulo as retas suportes de dois alturas se encontram a num unico ponto.
´
Solu¸˜o . ca 1

(a) Observa-se do gr´fico (♣) que a −→
−
CM
−→
−
AN
−→
−
BP

−
→
−
→
−
AC − P roj AC −→
AB
−
−
→
−
−
→
−
BA − P roj BA−→
BC
−
−
→
−
−
→
AB − P roj AB −→
AC

=
=
=

O que implica
−→
−
CM
−→
−
AN

=

−→
−
BP
(b) Prova-se somente que

=

=

− −
→−
→
−
→ −
→
AC AB −
− 2 AB − AC
−
→
AB
− −→
− −
→
− −→
→ −
−
→ AB.CB −
→
CA.CB −
−→ 2 AB + −→ 2 AC
−
−
CB
CB
− −
− →
→
→ −
−
→
AB.AC −
− 2 AC − AB
→
AC

−→
−
−→
−
AN e BP n˜o s˜o paralelos; os outros casos prova-se a a

analogamente.Assumamos o contrario:
− −→
− −
→
− −
− →
→
− −→
→−
−
→ AB.CB −
→ λAB AC −
→
−
−
→
CACB −
−→ 2 AB + −→ 2 AC = − 2 AC − λAB
−
−
→
CB
CB
AC
Logo,

− −→
→−
AC CB λ = −→
−
CB 2

Isto implica,

e

− −→
− −
→
− −
− →
→
AB CB λAB AC
= −
−→ 2
−
→
CB
AC 2

− −
− →
→
−
−
→ AB.AC −
→
AB − −
→ 2 AC
AC

−→
−
CB
−→ 2 = 0
−
CB

O qu´ ´ equivalente a ee − −
− →
→
→ −→
−
−
→ AB.AC −
−
−→ −→
− −
AB − −
→ 2 AC CB = −BP .CB = 0
AC
−→ −
−
→
−→