prova calculo

Universidade Federal do Espir´ Santo ıto Terceira prova de C´lculo I - Ciˆncia da Computa¸˜o a e ca Professora Julia Wrobel
Vit´ria, 6 de julho de 2006 o Nome Leg´ ıvel: Assinatura:

1. (1.25 pontos) Use o polinˆmio de Taylor de ordem 2 para calcular um valor aproximado o de e0,03 . Estime o erro dessa aproxima¸˜o. ca 2. (1.25 pontos) Determine uma fun¸˜o y = f (x) definida num intervalo aberto I, com π ∈ I ca tal que f (0) = 0 e para todo x ∈ I, dy = −π sen(πx). dx 3. (1.25 ponto) Seja f : R → R deriv´vel at´ segunda ordem com f ′′ (x) − f (x) = 0 para a e x ′ todo x ∈ R. Prove que g(x) = e [f (x) − f (x)] ´ constante para x ∈ R. e 4. (1.25 pontos) Desenhe o conjunto de todos os pontos (x,y) tais que x2 − 1 ≤ y ≤ x + 1.
Calcule a sua ´rea. a 5. (1.25 pontos) Suponha f cont´ ınua em [0, 4]. Calcule

2
−2

xf (x2 ) dx.

6. Calcule:
a) (1.25 pontos) lim (x + 1)1/ ln x x→+∞ 1

b) (1.25 pontos)
0
2

c) (1.25 pontos)
1

x2 dx 1 + x3
1 + t2 dt t4
√

C´lculo Diferencial e Integral I a 3a. Prova
Engenharia El´trica e 29 de novembro de 2006
Nome do Aluno:
Apresente todos os c´lculos e justificativas a 1. (2 pontos) Determine a fun¸˜o f que verifica as seguintes condi¸oes: ca c˜ f :R→R

f (x) =

ex
1 + ex

f (0) = 0.

2. Calcule:
1

a) (2 pontos)

√

x ln x dx

0
4

9 − (y − 1)2 (y + 4) dy

a) (2 pontos)
−2

b) (2 pontos)

x2 + 2x + 3 dx x2 + 4x + 13

3. (2 pontos) Escolha e fa¸a apenas uma das duas quest˜es abaixo: c o
a) Corta-se um peda¸o de arame de 1,50m de comprimento em duas partes. c Com uma das partes forma-se um c´ ırculo e com a outra forma-se um triˆngulo a equil´tero. Onde deve ser cortado o arame de modo que a soma das areas do a ´ c´ ırculo e do triˆngulo seja m´ a ınima? E m´xima? a Use

√
1,50 3/18
√
1/2π+ 3/18

≈ 0, 565.

b) Use a f´rmula de Taylor com resto de Lagrange para mostrar que para todo o x ∈ [0, 1], x2 1
< . ex −