PRODUTO INTERNO

PRODUTO INTERNO em um espaço vetorial

É uma função de com domínio e imagem em que cada vetor associa um número real indicado por onde as seguintes propriedades devem ser válidas:

1.

2.

3.

4. e se, e somente se, .

Por exemplo, em , a função que associa a cada par de vetores e o número real

é um produto interno (verifique as quatro propriedades da definição!)

Observação importante: Um produto interno bastante conhecido é o produto escalar de vetores definido, por exemplo, no como:

Dados os vetores e o produto escalar é definido por:

verifique!

Espaços vetoriais euclidianos

É um espaço vetorial real, de dimensão finita, no qual está definido um produto interno. As definições que seguem são bastante importante no desenvolvimento da álgebra linear.

Considere um Espaço vetorial V munido de um produto interno.

Módulo de um vetor

Dado um vetor chama-se módulo, norma ou comprimento de o número real não negativo, indicado por , definido por

.

No com o produto interno usual (produto escalar) definido anteriormente, tem-se

Distância entre dois vetores

Cama-se de distância entre dois vetores e o número real representado por definido por:

Por exemplo, no com o produto interno usual definido anteriormente, temos que

ou seja,

.

Quando , isto é, , o vetor é chamado vetor unitário. Neste caso dizemos que o vetor está normalizado.

Todo vetor não nulo pode ser normalizado, fazendo:

.

De fato,

e, portanto, é um vetor unitário.

Ângulo entre dois vetores

Sejam e vetores não nulos de um espaço vetorial euclidiano .

O ângulo entre os vetores e é dado por

com .

Vetores ortogonais

Dizemos que os vetores e são ortogonais, e se representa por , se, e somente se, .

Um conjunto de vetores do espaço vetorial euclidiano é ortogonal se dois vetores quaisquer, distintos, são ortogonais, ou seja,

para .
Observe que um conjunto ortogonal de vetores não nulos

é linearmente