Problema da Agulha de Buffon

Problema da Agulha de Buffon
MAP2212 - Laboratório de
Computação e Simulacão
Prof. J. Stern
Giovanni B. Pomelli
NUSP: 7157363
10 de maio de 2013

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Laboratório de Computação e Simulacão

Introdução

O problema da "Agulha de Buffon” foi primeiramente posto no séc. XVIII por Georges-Louis Leclerc, o Conde de Buffon. Consiste em encontrar a probabilidade de uma agulha de comprimento cair em uma linha, dado um chão com linhas paralelas igualmente distantes com distância d (figura 1).

Figura 1: Posições da agulha
Tal problema foi um dos primeiros em probabilidade geométrica a ser resolvido, sua solução se deu através do uso de integrais geométricas e posteriormente pôde ser usado para criar um método baseado em Monte-Carlo 1 para aproximar o número π.

Agulha de Buffon (Buffon’s Needle)

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Determinemos a posição da agulha especificando por X a distância do ponto médio da agulha á linha paralela mais próxima e θ o ângulo entre a agulha e
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Método de Monte Carlo é uma classe de algoritmos computacionais que cai sobre amostragens aleatórias para obter resultados numéricos. Geralmente usados em três problemas distintos: otimização, integrais numéricas e geração de amostras de uma distribuição de probabilidade. Giovanni Brandão Pomelli - 7157363

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a linha projetada de comprimento X (figura 2). A interseção da agulha e a linha se dará se a hipotenusa do triângulo for menor do que /2, ou seja, se:
X
< ou X < cosθ cosθ 2
2

Figura 2: Distância X e ângulo θ
Como X varia entre 0 e d/2 e entre 0 e π/2 é razoável assumir que são variáveis aleatórias uniformemente distribuídas e independentes no respectivo intervalo. Assim:

P

X < cosθ
2

=

f x(x)f θ(y)dxdy

x < /2cosy
4
πd
4
= πd π/2

/2cosy

=

=

dxdy
0

0 π/2 0

2

cosydy

2 πd 2

Figura 3: Experimento com 500 lançamentos

Giovanni Brandão Pomelli - 7157363

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