probabilidade

5. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS1
5.1. Introdução:
Consideremos os seguintes enunciados:
•

Quais são as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume v e com a menor área de superfície possível?

•

A temperatura T em qualquer ponto ( x, y ) do plano é dada por T = T ( x, y ) . Como vamos determinar a temperatura máxima num disco fechado de raio r centrado na origem? E a temperatura mínima?

Para resolver essas e outras questões, vamos pesquisar máximos e/ou mínimos de funções de duas ou mais variáveis.
O máximo ou mínimo de uma função de duas variáveis pode ocorrer na fronteira de uma região ou no seu interior. Inicialmente, vamos analisar exemplos em que os máximos e mínimos encontram-se no interior de uma região. Posteriormente, mostraremos as técnicas para determinar máximos e mínimos na fronteira de um conjunto e também sobre uma curva. Diversos exemplos são dados para ilustrar a aplicação de conceitos e proposições para a resolução de problemas práticos. Alguns exemplos serão dados para visualizarmos o caso de funções com mais de duas variáveis.

5.2. Definições:
Definição 1: Seja z = f ( x, y ) uma função de duas variáveis. Dizemos que ( x0 , y0 ) ∈ D( f ) é ponto de máximo absoluto ou global de f se: ∀( x, y ) ∈ D( f ) ⇒ f ( x, y ) ≤ f ( x0 , y0 ) . Neste caso, dizemos que f ( x0 , y0 ) é o valor máximo de f .
Exemplo:
1) A figura a seguir, gerada a partir do software MAPLE®, através das linhas de comando também apresentadas, mostra o gráfico da função f ( x, y ) = 4 − x 2 − y 2 . O ponto (0, 0) é um ponto de máximo absoluto ou global de f , pois,
∀( x, y ) ∈ D( f ) ⇒ 4 − x 2 − y 2 ≤ f (0, 0) ou
4 − x 2 − y 2 ≤ 4, ∀( x, y ) ∈ ℜ 2
O valor máximo de f ( x, y ) = 4 − x 2 − y 2 é f (0, 0) = 4 .

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O presente material faz parte da Apostila de Cálculo II, elaborada pelo prof. José Donizetti de Lima.
Alguns tópicos da versão original foram suprimidos.

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Linhas de comando: MAPLE® =>