Principio de indução finita

Princpio da Inducão Finita
Prof. Nilomar Vieira de Oliveira
1 Trabalho Sobre Princpio da Induc~ao Finita
1. Use induc~ao para demonstrar os seguintes fatos:
(a) n  4 ) n! > 2n.
Soluc~ao. Para n = 4, a armac~ao e verdadeira, pois
4! = 24 > 24 = 16:
Suponhamos que a proposic~ao seja verdadeira para k > 4 e vamos demonstrar que ela e valida para k + 1:
De fato, k! > 2k; k > 4 ) k!(k + 1) > 2k(k + 1)
) (k + 1)! > 2k
2; (k > 4 ) k + 1 > 5 > 2:)
) (k + 1)! > 2k+1:
Portanto, n! > 2n; para todo n 2 N; n  4:
(b) 1 + 2 +


+ n = n(n + 1)
2
; todo n 2 N:
Soluc~ao. Para n = 1, a armac~ao e verdadeira, pois
1 =
1(1 + 1)
2
:
Suponhamos que a proposic~ao seja verdadeira para k > 1 e vamos demonstrar que ela e valida para k + 1:
Temos
1 + 2 +


+ k + (k + 1) = k(k + 1)
2
+ (k + 1)
=
k(k + 1)
2
+
2(k + 1)
2
=
(k + 1)(k + 2)
2
:
Portanto, 1 + 2 +


+ n = n(n + 1)
2
; todo n 2 N:
1
(c) 1 + 3 + 5 +


+ (2n 1) = n2; para todo n 2 N:
Soluc~ao. Para n = 1, a armac~ao e verdadeira, pois
1 = 12:
Suponhamos que a proposic~ao seja verdadeira para k > 1 e vamos demonstrar que ela e valida para k + 1:
Temos
[1 + 3 + 5 +


+ (2k 1)] + (2k + 1) = [k2] + (2k + 1)
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2:
Portanto, 1 + 3 + 5 +


+ (2n 1) = n2; para todo n 2 N:
(d) 1 + a +


+ an = an+1 1 a 1
; sejam quais forem a; n 2 N; a 6= 1:
Soluc~ao. Para n = 1, a armac~ao e verdadeira, pois
1 + a = a2 1 a 1
=
(a + 1)(a 1) a 1
= a + 1:
Suponhamos que a proposic~ao seja verdadeira para k > 1 e vamos demonstrar que ela e valida para k + 1:
Temos
1 + a +


+ ak + ak+1 = ak+1 1 a 1
+ ak+1
=
ak+1 1 a 1
+
(a 1)ak+1 a 1
=
ak+2 1 a 1
:
Portanto, 1+a+


+an = an+1 1 a 1
; sejam quais forem a; n 2 N; a 6= 1:
(e) Para todo x 2 R, x  1, e todo n 2 N tem-se (1 + x)n  1 + nx .
Soluc~ao. Para n = 1, a armac~ao e verdadeira, pois
(1 + x)1 = 1 + 1
x: