Polígonos inscritos e circunscritos em uma circunferência

Ângulos inscritos e circunscritos numa circunferência
Ângulo inscrito

Os diferentes ângulos possuem o mesmo arco.
Dado que a fórmula é:

Explicando a fórmula:

A partir do desenho do triângulo isósceles, sabemos que a soma dos ângulos internos é 180º, então:

Ângulo circunscrito

Sendo D= 40º, qual é o valor de B?
Como o ângulo D é inscrito, podemos aplicar a fórmula que acharmos no item anterior:

Temos então que

Tendo o ângulo , e temos que ABCD forma um quadrilátero e todo quadrilátero tem 360º internos, sendo assim:

Quadrado inscrito e circunscrito

Para quadrado inscrito, o valor do apótema é dado por:

Para o quadrado circunscrito, o valor da apótema é dado por a=r (por ser tangeneado ao lado do quadrado). O valor do arco é encontrado ao subtrair o arco da figura exterior, pelo arco da figura interior.

Para o quadrado inscrito temos que , ou seja
Triângulo equilátero inscrito e circunscrito na circunferência
Triangulo inscrito
Triângulo equilátero ABC inscrito numa circunferência de centro O.
Cada ângulo central mede: O segmento OM no triangulo isósceles é a altura, mediana e bissetriz desse triangulo.

D
OB é o raio da circunferência
OM é o apótema do triângulo
MB é metade do lado do triângulo

Supondo o raio como r, calculamos as medidas do lado do triângulo, indicado por , e do apótema . Observe, então, o triângulo OMB:

Dessa forma, a área do triângulo equilátero inscrito numa circunferência, em função do raio r, será:

Triângulo equilátero circunscrito
Para calcular o raio da circunferência inscrito num triângulo utilizamos a seguinte fórmula:
O raio da circunferência inscrita é igual ao apótema.

Para o cálculo da área;
A área de um triângulo é igual à metade do produto da base pela altura

Hexágono regular inscrito e circunscrito numa circunferência
Hexágono regular