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Páginas: 24 (5971 palavras) Publicado: 25 de julho de 2014
CAPÍTULO 21
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

FUNÇÕES IMPLÍCITAS E EXPLÍCITAS

Até agora, estudamos funções que envolvem duas variáveis que se apresentam de
forma explícita : y = f(x), isto é, uma das variáveis é fornecida de forma direta
(
explícita ) em termos da outra.
y = 4x - 5
Por exemplo : s = -25t² - 18t
u = 9w – 35w²
Nelas dizemos que y, s, e u são funções de x, t e w, EXPLICITAMENTE.Muitas
funções, porém, apresentam-se na forma implícta, veja o exemplo abaixo:
● Ache a derivada

dy
da função xy = 1.
dx
dy
dx

: Derivada de y em
relação à x.

RESOLUÇÃO : Nesta equação, y esta definida IMPLICITAMENTE como uma
função de x. Podemos obter, portanto, a equação em relação à y e daí diferencia-la.
● xy = 1 ( Forma implícita )
●y=

1
( Escrever a relação y em função dex )
x

● y = x –1 ( Escrever sob nova forma )


dy
= - x – 2 ( Derivar em relação a x )
dx



dy
1
= - 2 ( Simplificar )
dx
x

Este processo só é possível quando podemos explicitar facilmente a função dada, oque
não ocorre, por exemplo, com y4 + 3xy + 2lny = 0.
Para tanto, podemos utilizar um
método chamado
DERIVAÇÃO (
OU DIFERENCIAÇÃO ) IMPLÍCITA, que nos permite derivaruma função sem a
necessidade de explicitá-la.
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

Esta derivação é feita em relação a x. Resolvendo normalmente as derivadas que
envolvam apenas x. Quando derivamos termos que envolvem y, aplicaremos a Regra da
Cadeia, uma vez que y é uma função de x.
Exemplos :
1 ) 2x + y³
Resolução :
Sendo y uma função de x, devemos aplicara regra da cadeia para diferenciar emrelação
a x, daí :
d
d
d
dy
( 2 x  y 3 )  ( 2 x)  ( y 3 )  2  3 y 2
dx
dx
dx
dx

2 ) x + 3y
Resolução :

d
d
d
dy
( x  3 y) 
x  (3 y)  1  3
dx
dx
dx
dx

3 ) xy²
Resolução :

Regra da cadeia

d
d
dy
( xy 2 )  1. y 2  x. ( y 2 )  y 2  2 xy
dx
dx
dx

4 ) 4x² + 9y² = 36
Resolução :

d
d
dy
dy  8 x
dy  4 x
(4 x 2  9 y 2  36)  8 x  (9 y 2 )  0 18 y
 8 x 



dx
dx
dx
dx 18 y
dx
9y
5 ) x4 + y4 + x² + y² + x + y = 1
6 ) x²y5 = y + 3
7 ) x² + y² = 1
8 ) x² + 5y³ - x = 5
9 ) x³ - y³ - 4xy = 0
10 ) x²y + 3xy³ - 3 = x
11 ) x² + 4y² = 4
12 ) y³ + y² - 5y – x² = -4

13 ) x -

y
=2
x

14 ) x³y³ - y = x
1
2

1
2

15 ) x  y  9
16 ) tgy = xy
17 ) ey = x + y
18 ) acos²( x + y ) = b
19 ) xy – lny = 2EXTRA :

y x y

x x y

=================================================================
===========================================================

CAPÍTULO 22

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA

Função na forma paramétrica
x = x(t)
Sejam ( I )

duas funções da mesma variável t, com t  [ a, b ]; a

y = y(t)
cada valor de t, temos x e y definidos.
Caso as funçõesx = x(t) e y = y(t) sejam contínuas, quando t varia de a, b; o ponto P (
x(t), y(t) ) decreve uma curva no plano, onde t é o parâmetro.
y
Exemplo :
y(t)

P

▒▒▒▒▒▒▒▒
a

t

b
0

x(t)

x

Suponhamos a função x = x(t) inversível, temos t = t(x) a inversa de x = x(t) e
podemos escrever y = y[t(x)] e y define-se como função de x na FORMA
PARAMÉTRICA.
Eliminamos t de ( I ) eobtemos y =y(x) na FORMA ANALÍTICA usual.
Exemplos :
x = 2t + 1

t em função de x

a)

t=1.(x–1)
2

y = 4t + 3

Aplicando t em y, temos : y = 4.

1 . ( x – 1 ) + 3  y = 2x – 2 + 3  y = 2x + 1
2

x = a.cost
b)

Equação da Circunferência

; t  [ 0; 2  ]

com centro ( 0, 0 )
e raio a

y = a.sent

Elevando-se ambas as as equações ao quadrado e somando, temos :
x² + y² =a² cos²t + a²sen²t  x² + y² = a²( cos²t + sen²t )  x² + y² = a² . 1  x² + y² = a²

► Nota-se que a equação acima NÃO É UMA FUNÇÃO y(x) na forma paramétrica (
x = a.cost não é inversível em [ 0, 2  ] ). Daí vamos obter uma ou mais funções do tipo y =
y(x) na forma paramétrica ao restringirmos o domínio.
Logo, temos :
x = a.cost

; t  [ 0;  ]

x = a.cost
OU

y = a.sent

;...
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