pendulo simples

Observe a figura:

Ela representa um pêndulo. Na parte direita, são representadas as forças que atuam no pêndulo (desconsiderando o arrasto/resistência do ar). O ângulo formado na parte superior da imagem será denominado por (letra grega – teta). Imagine o traçado de um plano xOy, de forma que seja possível decompor a força peso P nas componentes Px e Py. É evidente que a força Py é equivalente a tração T (disposta na extremidade do fio), e portanto, “anulam-se” mutuamente. O sentido dos eixos componente do plano seguem a mesma direção de Px e Py correspondentes, o sentido de y será de baixo para cima, e o de x da esquerda para direita. Com isso, a força Px terá um sinal de negativo, indicando que atua em sentido contrário ao proposto pelo eixo ao qual se refere. Da 2ª (Segunda) Lei de Newton ou Princípio Fundamental da Dinâmica, advém o esquema abaixo:

Por extenso: “o somatório das forças no eixo xis é igual ao produto da massa pela aceleração do sistema no eixo correspondente”.
Então,

Sabe-se que a derivada segunda do espaço em relação ao tempo é igual a aceleração, logo

Com o fato citado, há a equação diferencial acima. Antes, é importante notar na figura que (para ângulos pequenos) é quase igual ao comprimento percorrido pelo pêndulo (arco de correspondência) pelo comprimento do fio.

Logo,

Como é uma constante (k), podemos reescrevê-la:

Essa última equação vista remete ao Movimento Harmônico Simples (MHS), e essa equação diferencial admite como solução, pelo menos, o disposto a seguir:

A letra grega ômega faz alusão à “velocidade angular”.
A derivada primeira é:

A derivada segunda é:

Portanto,

Dividindo ambos os membros da equação por , obtém-se:

Lembre-se que o produto da “velocidade angular” pelo período T (que é o tempo para uma oscilação) é igual a 2.

Veja,

Multiplicando ambos os membros da última equação mostrada por .

Esta é relação que queríamos demonstrar.
Mas, a relação utilizada no experimento