PA e PG

Progressão Aritmética

Uma sequência de números reais é chamada de progressão aritmética (PA) quando cada um de seus termos, a partir do segundo, é igual à soma do anterior com uma constante r, chamada razão da PA:
(a1, a2, a3, ..., an, ...) é PA => an = an-1 + r (n ≥ 2 e n ∈ N)
Então:
a1 é o 1º termo a2 = a1 + r a3 = a2 + r
...
an = an-1 + r => termo geral da PA
Desse modo, em uma PA, subtraindo de cada termo o seu anterior resulta a razão r: a2 = a1 + r => a2 - a1 = r a3 = a2 + r
...
an = an-1 + r => an - an-1 = r
Podemos relacionar entre si termos não consecutivos de uma PA. Vamos estabelecer uma relação entre a3 e a7 a7 = a6 + r = a5 + r + r = a4 + r + r + r = a3 + r + r + r + r
Então, a7 = a3 + 4r.
Também podemos relacionar três termos consecutivos: o termo do meio é a média aritmética entre os outros dois. Assim, sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an) uma PA, ap = (ap-1 + ap+1)/2
Classificação
Dependendo da razão r, uma PA pode ser:
Crescente, quando r > 0
Decrescente, quando r < 0
Constante, quando r = 0
Representação
Para representar uma PA de razão r e termos desconhecidos, podemos proceder de várias maneiras, por exemplo:
Considerando a1 = y: (y, y + r, y + 2r, ...)
Considerando a1 = y - r: (y - r, y, y + r, ...)

Fórmula do termo geral
Uma PA de razão r pode ser escrita assim:
(a1, a2, a3, a4, ..., an-1, an)
Aplicando a definição de PA, podemos escrevê-la de outra forma:
(a1, a1 + r, a1 + 2r, a1 + 3r, ..., a1 + (n-1)r) an = a1 + (n - 1)r, para n ∈ N*

Soma dos n termos de uma PA
Considerando a PA (a1, a2, a3, ..., an-1, an), a soma Sn de todos os termos dessa progressão pode ser escrita assim:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
Sn = a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + ... + (an - r) + an
Somando (1) com (2) membro a membro, obtemos:
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) = (a1 + an)n => Sn = ( (a1 + an)n )/2
Assim, essa é a expressão que nos dá a soma dos "n" termos de uma PA.

Progressão