Otimização (Calculo)

2) Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16m de altura e uma base com 4m de raio. A água “flui” no tanque a uma taxa de 2 min 3 m . Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5m?
1- Figura (desenho esquemático)

2- Definição das variáveis: t → tempo em (min) com que a água “flui” no tanque.
V → volume em m3 de água. h → nível em (m) com que a água esta se elevando no tanque. r → raio em (m) do nível da água no tanque.
4m
r m h m
16 m
4m
r m h m
16 m26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas

3
3- Fatos numéricos conhecidos: min 3
2
m dt dV
=
min ? m dt dh = quando h = 5m h = 16m para r = 4m 4- Equação envolvendo as variáveis que dependem de t:
4
4 h h = r ⇒ r =
V = ⋅r ⋅h
2
3 π 3
2
3 4 3 16 h h h V ⋅
⋅
 ⋅ =





= ⋅ π π

5- Derivando em relação a t:
3
3 16
V ⋅h
⋅
= π dt h dh dt dh h dt dV
16
3
3 16
2
2 ⋅
⋅ ⋅ ⋅ =
⋅
= π π dt dV dt h dh ⋅
⋅
=
2
16 π 6- Substituindo os valores de quantidades conhecidas:
Encontrando agora
=5


 h dt dh 2 2 min
5
25
32 2
5
16 16 m dt dV dt h dh π π ⋅π
⋅ =
⋅
⋅ =
⋅
= 

 min
2) Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16m de altura e uma base com 4m de raio. A água “flui” no tanque a uma taxa de 2 min 3 m . Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5m?
1- Figura (desenho esquemático)

2- Definição das variáveis: t → tempo em (min) com que a água “flui” no tanque.
V → volume em m3 de água. h → nível em (m) com que a água esta se elevando no tanque. r → raio em (m) do nível da água no tanque.
4m
r m h m
16 m
4m
r m h m
16 m26/02/2008 – Fatec/Tatuí – Calculo II - Taxas Relacionadas

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3- Fatos numéricos conhecidos: min 3
2
m dt dV
=
min ? m dt dh = quando h = 5m h = 16m para r = 4m 4-