OlímpiadasComplexos1

Olimpíadas envolvendo números complexos
Catarina Isabel Rosa Silva

Trabalho realizado no âmbito do Projeto Educacional II,
Disciplina do Mestrado em Ensino da Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e no Secundário

Orientadora: Raquel Caseiro
Ano letivo 2011/2012

Problema 1
Proposição:
Sejam números complexos distintos. A medida do ângulo orientado entre e é igual ao .
Problema:
Mostre que é um imaginário puro .

Problema 2
Proposição: A reta r, perpendicular a que passa pelo ponto é

Utilizando a proposição anterior demonstre a proposição seguinte.
Proposição: Seja um triângulo definido no plano complexo. O seu baricentro é

Problema 3
Utilizando a proposição do problema anterior, prove a seguinte proposição.
Proposição: Seja um triângulo definido no plano complexo. O seu circuncentro é

Problema 4
Proposição: Dois triângulos, e , são semelhantes, se e somente se,

Utilizando a proposição anterior demonstre o seguinte teorema.
Teorema: Dois triângulos são semelhantes, ~ , se e só se o determinante

é nulo.

Problema 5
Teorema: Os afixos dos complexos são os vértices de um triângulo equilátero se e só se ou onde é uma raiz cúbica de unidade diferente de 1.
Utilizando o teorema anterior demonstre o teorema seguinte.
Teorema: Um triângulo é equilátero se e somente se , ou seja,

Problema 6
Proposição: Sejam e vértices de um quadrilátero inscrito numa circunferência, posicionados pela ordem, e então Utilizando a proposição anterior, demonstre o seguinte teorema, Teorema de Ptolemeu.
Teorema: A soma dos produtos dos comprimentos dos lados opostos do quadrilátero é igual ao produto dos comprimentos das diagonais, ou seja,

Problema 7 (Olimpíada Chinesa 98)1
Seja D um ponto no interior de um triângulo acutângulo ABC, com

Determine quais são as possíveis posições que D pode ocupar.

Problema 8 (Olimpíada Universitária Húngara 1995) 2
Problema
São dados pontos na circunferência unitária de modo que o