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Matrizes

Introdução

Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n a uma função A de…nida no conjunto f(i; j) : i 2 f1; 2; :::; mg e j 2 f1; 2; :::; ngg e com valores em R.

A matriz A é usualmente representada como um quadro, numa das formas:

2

6
6
6
A = 6
6

a31

a32

a33
3

7
7
a3n 7
. .
6 . .
4
. . . . . 7
5
am1 am2 am3 amn

A = [aij ]i=1;:::;m onde aij = A (i; j). j=1;:::;n Os elementos aij dizem-se as entradas da matriz; o elemento aij está posicionado na linha i (denominado índice de linha) e na coluna j (denominado índice de coluna) da matriz A: Os elementos com o mesmo índice de linha e coluna, isto é, os elementos aii; i 2 f1; 2; :::; ng dizem-se entradas principais da matriz;

Duas matrizes A e B são iguais se forem do mesmo tipo e as entradas correspondentes forem iguais.

Se m = n a matriz diz-se quadrada, dizendo–se nesse caso que a matriz é de ordem n.

Matrizes particulares

Se m = 1 a matriz diz-se uma matriz linha.

Se n = 1 a matriz diz-se uma matriz coluna.

Se A = [aij ]i=1;:::;n é uma matriz quadrada, então: j=1;:::;n a diagonal principal de A é constituída pelas suas entradas principais.

a matriz diz-se triangular superior se aij = 0; sempre que i > j;

a matriz diz-se triangular inferior se aij = 0; sempre que i < j;

a matriz diz-se diagonal se é triangular superior e inferior, ou seja se aij = 0; sempre que i = j;

Matriz nula de tipo m n é a matriz Om n = [oij ]i=1;:::;m ; em que oij = 0, ou seja, j=1;:::;n 2

6
6
O = 6
6 . . .
6 . . .
4
3

7
7
7
7.
. . . . 7
5
0 0 0 0

Matriz identidade de ordem n é a matriz In = [aij ]i=1;:::;n em que aij = j=1;:::;n ( 1 se i = j
;
0 se i = j
2

6
6
ou seja, In = 6
6 . .