Números Complexos

Capítulo 2
Funções complexas

2.1. Introdução
Neste capítulo consideram-se vários exemplos de funções complexas e ilustram-se formas de representação geométrica destas funções que contribuem para a apreensão geométrica dos seus efeitos e para a compreensão de como podem estender funções reais.
O exemplo mais importante considerado nesta secção é a exponencial complexa, em associação natural com funções logaritmo que são inversas da exponencial em conjuntos onde esta é uma função injectiva.
Consideram-se também outras funções complexas definidas a partir da exponencial, como é o caso de funções trigonométricas, hiperbólicas, potências e exponenciais de base e expoente complexos.
Para o leitor que lidou com estas funções exclusivamente no âmbito dos números reais pode parecer surpreendente que as funções trigonométricas possam ser obtidas das funções exponenciais, dado o comportamento muito diferente destas funções no caso real e o facto de terem originado em contextos claramente distintos. L. Euler foi o primeiro a referir a relação entre funções trigonométricas e a função exponencial, numa carta a
Johann Bernoulli 1 em 1740 em que escreveu a fórmula 2 cos θ = e iθ + e − iθ . Na verdade, a exponencial complexa, além do caracter de crescimento geométrico da exponencial real, contém o comportamento oscilatório exibido pelas funções trigonométricas reais seno e coseno. É mais um exemplo do poder unificador e simplificador da análise complexa que encontraremos em muitas outras situações.
O capítulo termina com as noções de limite e continuidade de funções complexas.
1 Johann Bernoulli (1667-1748).

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Funções complexas

2.2. Representação geométrica de funções complexas
As funções complexas são funções com valores complexos e definidas num conjunto de números complexos, f : S → ℂ, com S ⊂ ℂ. Para z = ( x + i y ) ∈ S , x, y ∈ ℝ, a função pode-se escrever na forma f (x + i y) = u( x, y) + i v( x, y) , com u( x, y), v( x, y) ∈ℝ.