Numeros Enumeraveis

Conjuntos Finitos e Infinitos, Enumerabilidade

Ao estudarmos conjuntos numéricos e seus subconjuntos, muitas vezes, deparamos com conjuntos com um número finito de elementos e também com conjuntos com um número infinito de elementos. Abaixo, daremos uma definição formal sobre esses conceitos bem como deixar mais claro o que significa dizer que dois conjuntos têm o mesmo número de elementos. Seguindo nessa direção, veremos que o "número de elementos" do conjunto dos números naturais é o mesmo que o do conjunto dos números racionais.

Conjuntos Finitos e Infinitos

Para dar um significado preciso as ideias de conjuntos finitos e infinitos, vamos começar nosso estudo considerando o conjunto N formado por todos os números naturais, ou seja, pelo conjunto N={1,2,3,…}. Considere os seguintes subconjuntos de N:
i) A o conjunto formado pelos números naturais menores ou iguais a 5. Assim, A={1,2,3,4,5}
Podemos nos perguntar se esse subconjunto de N é finito ou infinito? Nosso senso comum nos diz que ele é finito, pois podemos "contar" quantos elementos tem o conjunto A, neste caso, o conjunto possui 5 elementos. ii) B o conjunto formado pelos números naturais menores ou iguais a 10. Assim,
B={k∈N | 1≤k≤10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Com base no mesmo raciocínio do exemplo anterior, podemos afirmar que B também é um conjunto finito e que ele possui 10 elementos. Vamos agora considerar o conjunto In formado por todos os números naturais menores ou iguais a n. Utilizando a notação de conjuntos podemos escrever In={k∈N | 1≤k≤n} = {1,2,3,…,n} Dessa forma, retomando os exemplos anteriores, temos que A=5 e B=10. Assim, no conjunto In o primeiro elemento é o 1, o segundo é o 2, e assim por diante, até que o n-ésimo elemento é o n. Dessa forma, os conjuntos In, onde n∈N, são conjuntos com, exatamente, n elementos. Pensando de uma forma um pouco mais geral, podemos considerar um conjunto formado por letras, como, por exemplo, o conjunto X={d,e,f,g,h} Podemos,