1 Teoria dos Conjuntos

CONJUNTOS
Conceitos
Conjuntos podem ser entendidos como coleções de objetos distintos, não importando a ordem em que eles aparecem. Estes objetos são denominados elementos de um conjunto. Se o objeto a é um elemento do conjunto A, a notação a ∈ A é utilizada. O símbolo ∈ denota a relação (binária) existente entre elemento e conjunto, indicando a pertinência do primeiro em relação ao segundo e pode ser lida como “o elemento a pertence ao conjunto A” ou “o elemento a está no conjunto A”. Do mesmo modo se um elemento b não pertence a um conjunto A, tem-se b ∉ A .
Exemplo: Seja A = {a, b, c} . b ∈ A, mas d ∉ A .
Um conjunto especial é o conjunto vazio, denotado por ∅ ou {} . É caracterizado pelo fato de não possuir elementos.

Proposição: O conjunto vazio é único.
Existem dois princípios importantes, o da Especificação e o da Extensionalidade. O primeiro trata da especificação de novos conjuntos a partir de outros: “dado um conjunto A e uma propriedade P sobre os elementos do conjunto A, fica determinado um novo conjunto B = {x ∈ A | P( x )} ”. O Princípio da
Extensionalidade trata da igualdade de conjuntos. Um conjunto A é igual a um conjunto B quando todo elemento do conjunto A é um elemento do conjunto B e todo elemento do conjunto B é elemento do conjunto A. A notação é A = B .
Exemplos: Seja A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} .
1) Considere a propriedade P: x é par. O conjunto obtido a partir do conjunto A e da propriedade P é
B = {x ∈ A | P ( x )} = {x ∈ A | x é par} = {2,4,6,8} .
2) Seja a propriedade Q: x é primo e o conjunto C = {x ∈ A | Q ( x )} = {x ∈ A | x é primo} = {2,3,5,7} .
3) Seja R: x é múltiplo de 11 e D = {x ∈ A | R( x )} = {x ∈ A | x é múltiplo de 11 } = ∅ .
Uma relação (binária) entre conjuntos é a de subconjunto. Um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B ou A está contido em B ou B contém A, se todo elemento do conjunto A é também um elemento do conjunto B. A notação é A ⊆ B .
Assim, no Princípio da Extensionalidade, A = B é equivalente a A ⊆ B e B ⊆