Numeros complexos

O conjunto dos números complexos é representado por IC, e definido como o conjunto dos pares ordenados compostos por números reais, onde são definidas a adição e a multiplicação e a igualdade.
• Adição: ( a, b) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ).
• Multiplicação: ( a, b) . ( c, d ) = ( ac – bd, ad + bc ).
• Igualdade: ( a, b) = ( c, d ) , onde a = c, b = d.

Deve-se considerar que o conjunto IR está contido no conjunto IC. Sendo que, por exemplo, o número real a possui como parte complexa 0. Ele será o número complexo (a, 0).

Unidade imaginária é indicada pela letra i , sendo que seu valor é ( 0, 1), onde se realizarmos i2 teremos i.i = ( 0, 1). ( 0, 1) = ( 0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0 ) = (–1,0).
Assim temos a notação usual que i2 = – 1. E que i =

Tomando-se um número z = ( a, b), teremos que z = a + bi. Portanto se assim considerarmos termos que a é a parte real de z e b a parte complexa de z.

Para esta nova notação iremos definir as operações novamente de maneira mais usual.

• Adição: (a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Multiplicação: (a + bi).( c + di) = ( ac – bd) + (ad + bc)i
• Igualdade: (a + bi) = ( c + di), onde a = c, b = d

Conjugado de um número complexo. ()
Se z = a + bi então = a – bi

Teoremas conseqüentes desta definição:

Para a Divisão de números complexos devemos proceder de forma semelhante à racionalização.
Assim temos, z = a + bi , = a – bi e z1 = c + di

Para calcularmos a razão entre z1 e z devemos:

Representação geométrica de um número complexo.

Sendo z = a + bi , |z| =

Pela representação gráfica temos que

Onde substituindo em z = a + bi encontraremos a forma trigonométrica de um número complexo.

Exemplo: z = iremos representa-lo na forma trigonométrica.

Sendo que
Onde

Assim sua representação na forma trigonométrica é