Nada

Transformações Lineares
Até agora só trabalhamos com funções reais de variável real, ou seja, funções cujos domínios e imagens são subconjuntos de R. Por exemplo: f(x) = 2x +1 ; f(x) = x2 ; f(x) = ex , etc. Vamos agora estudar funções que têm como domínio e contradomínio outros espaços vetoriais com R2, R3, etc. Assim, tanto a variável independente quanto a variável dependente, serão vetores, razão pela qual, funções deste tipo são também chamadas de funções vetoriais. Vamos estudar uma classe especial de funções definidas entre espaços vetoriais, que são aquelas que preservam as operações de adição e a multiplicação por um escalar. Enfatizaremos as transformações lineares de Rn em Rm . Tais transformações têm importância fundamental no estudo da Álgebra Linear. Para dizer que T é uma transformação (função) de um espaço vetorial V num espaço vetorial W, escreveremos T : V → W . Sendo T uma função, cada vetor v ∈ V tem um só vetor imagem w ∈ W, tal que W = T (v)
V T V W = T (v) W

Exemplos: 1) T : R2 → R3 T (x, y) = (x, y, x + y) Exemplos de algumas imagens T (1, 2) = (1, 2, 3); T (0, 1) = (0, 1, 1) 2) T : R3 → R3 T (x, y, z) = (x, y, 0)

Esta transformação é chamada de projeção ortogonal de R3 sobre o plano xy , pois ela pega um ponto qualquer de R3 e leva na sua projeção sobre o plano xy .

V

W= T (v)

Definição: Sejam V e W dois espaços vetoriais sobre R: uma transformação linear é uma aplicação (função) T de V em W que satisfaz as seguintes condições: T:V→W i) ii) ∀ u, v ∈ V, T (u + v) = T (u) + T (v) ∀ u ∈ V, ∀ λ ∈R, T (λu) = λ T(u)

Observação: no caso em que V = W uma transformação linear T : V → V é também chamada de operador linear.

Exemplos: 1) T : R→ R x → αx i) ii) T (x + y) = α (x + y) = α x + α y = T (x) + T (y) T (λ x) = α (λ x) = α λ x = λ (α x) = λ T (x)

2) T : R2 → R (x, y) → (x + y)

i)

T ( x1, y1) + (x2, y2) = T ( x1 + x2, y1 + y2) = x1 + x2 + y1 + y2 = = (x1 + y1) + (x2 + y2) = T (( x1, y1)) + T ((x2, y2))

ii)

T