Método de Newton Raphson

19 de Setembro de 2005
M´todos Computacionais em F´ e ısica I - 2005/2 nome: M´todo de e Newton-Raphson
N´s aprendemos a achar as ra´ o ızes de uma fun¸ao pelo m´todo da bisse¸ao. c˜ e c˜ Este m´todo tem uma vantagem, ele sempre converge para a raiz, desde que e exista uma no intervalo inicial dado. Mas tem duas desvantagens: ele ´ lento e e se a fun¸ao n˜o muda de sinal, a raiz n˜o ´ encontrada. c˜ a a e
Vamos aprender um outro m´todo, o de Newton-Raphson. Ele cobre as e desvantagens da bisse¸ao, isto ´, ´ mais r´pido e encontra ra´ c˜ e e a ızes que tocam o eixo x, mas tamb´m apresenta duas desvantagens: e • nem sempre converge
• precisa do c´lculo da derivada da fun¸ao, o que nem sempre ´ uma tarefa a c˜ e f´cil. a Para desenvolver este m´todo [1], vamos utilizar a expans˜o de uma fun¸ao e a c˜ em s´rie de Taylor em torno do ponto x0 . Ela ´ escrita como: e e
(x − x0 )2 f (x0 ) + · · ·
2!
Mantendo apenas os dois primeiros termos da s´rie temos e f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )f (x0 ) +

f (x) ≈ f (x0 ) + (x − x0 )f (x0 )
Esta ´ a equa¸ao de uma reta que passa pelo ponto f (x0 ) com inclina¸ao e c˜ c˜ f (x0 ), isto ´, ela ´ tangente a curva no ponto x0 . e e
`
Supondo que a fun¸ao f (x) seja bem aproximada por uma reta, o ponto que c˜ essa reta cruza o eixo x, est´ pr´ximo ao ponto que a fun¸ao cruza o eixo x. a o c˜ Este ponto x para o qual a fun¸ao cruza o zero ser´: c˜ a
0 = f (x0 ) + (x − x0 )f (x0 )
−f (x0 ) = (x − x0 )f (x0 ) x = x0 −

f (x0 ) f (x0 )

Esse ponto x ´ ent˜o usado no lugar de x0 como um novo valor inicial e a melhorando assim a aproxima¸ao. Essa id´ia de se usar um valor para gerar um c˜ e outro melhor ´ chamada de itera¸ao. A figura 1 ilustra a id´ia do m´todo. e c˜ e e
1

Figura 1: Newton-Raphson em a¸ao. Come¸ando com x0 , as sucessivas itera¸oes c˜ c c˜ se aproximam do zero da fun¸ao. A posi¸ao de x4 e do zero real da fun¸ao s˜o c˜ c˜ c˜ a