METODO DE NEWTON RAPHSON

Método de Newton Raphson Vimos no método de Iteração Linear que, dado f(x) = 0 , esta equação poderia ser transformada em x = g(x) e, daí, ser desenvolvido um processo iterativo onde, dado x0, seriam calculados x1= g(x0), x2= g(x1) ...xi+1= g( xi ), na expectativa de que a seqüência convirja para a raiz r. Vimos, também, que há diferentes maneiras de se construir g(x), sendo que para alguns haverá convergência para a raiz e para outros não convergirá. Além disso, a convergência dependerá do valor da derivada de g na região em torno da raiz, precisando ser, em módulo, menor que 1, para se ter convergência garantida para a raiz. Quanto mais próximo de zero, mais rápida será a convergência, pois cada novo erro será aproximadamente o valor do erro anterior multiplicado pela derivada de g na raiz. A idéia central no método de Newton-Raphson é a de escolher uma função g, tal que a derivada de g, na raiz que se está procurando, seja 0(zero). Assim teremos, não só garantia da convergência quanto convergência muito rápida. O método de Newton-Raphson é, também, conhecido como Método das Tangentes. A idéia é a de se tomar um valor de x, isto é, da variável independente, como primeira estimativa da raiz. Com esse valor de x, calcula-se o valor da função que, provavelmente, não estará valendo zero, isto é, não se está na raiz. Desse ponto, traça-se a tangente à curva, buscando-se o ponto em que essa tangente corta o eixo de x. Esse novo valor de x deverá ser uma melhor aproximação da raiz. A figura a seguir indica o processo a ser seguido. Vamos admitir que se pretenda calcular a raiz de ex - 2 cos(x) = 0. Pelo gráfico vemos que a raiz está próxima a 0,5. Vamos tomar como primeira aproximação um valor mal escolhido, qual seja x0 = 1,0 . Calculamos f(x0 ) = f(1) = 1,6377 .
Traçamos pelo ponto (1,0 , 1,6377) uma tangente à curva e toma-se o ponto onde a tangente corta