movimento oscilatorios

Cap. 2: Movimento oscilatório
•

Movimento harmónico simples (M.H.S.)

•

Movimento amortecido

•

Movimento forçado

Capítulo 2

2

1

Cap. 2: Movimento oscilatório
Se a força que actua sobre um corpo:
• é proporcional ao deslocamento em relação à posição de equilíbrio
• aponta sempre para a posição de equilíbrio
O corpo tem movimento periódico, harmónico, oscilatório ou vibratório

Ex: Bloco preso a uma mola, baloiço (pêndulo), corda a vibrar, moléculas a vibrar num sólido, etc..
Capítulo 2

3

Massa presa a uma mola: M.H.S.
F=0

F = − kx
2ª Lei de
Newton

m m F

ma = − kx

Força de restituição da mola F m 2

d x m 2 = − kx dt d2x m 2 + kx = 0 dt x=xmin

x=xmáx

F: Força restauradora k: constante da mola

a=−

d2x k
+ x=0
2
dt m x=0

k x = − ω2 x m k m ω=

ω é a frequência angular
Capítulo 2

(radianos)

4

2

Massa presa a uma mola: M.H.S.

dx2 a = =−ω2x dt Qual será a solução, x, desta equação diferencial ?
• Há muitas possibilidades
• Tem de haver duas constantes de integração (porquê?)

Experimentemos esta função:

x = A cos(ωt )
Capítulo 2

5

Massa presa a uma mola: M.H.S.

x = A cos(ωt ) dx d [A cos(ωt )]
=
= −ωA sin(ωt ) dt dt d 2 x d [− ωA sin(ωt )]
=
= −ω 2 A cos(ωt ) = −ω 2 x
2
dt dt É solução !
Mas haverá outras soluções ?
Capítulo 2

6

3

Massa presa a uma mola: M.H.S.

x = A sin(ωt )

SIM!

Também é solução

Queremos usar uma solução mais geral (combinação linear das duas):

x = B sin( ω t ) + C cos( ω t )

(Verifique que é solução) x = A cos(ωt + φ) é equivalente a x = B sin(ω t)+ C cos(ω t) x = A cos(ω t + φ) = A cos(ω t) cosφ - A sin(ω t) sinφ x = C cos(ω t) + B sin(ωt) Onde C = A cos(φ) e B = -A sin(φ)
Portanto, podemos usar

x = A cos(ωt + φ) como solução geral
Capítulo 2

7

Massa presa a uma mola: M.H.S.

Fase

A solução é:

x(t ) = Acos (ω t + φ )
As 2