Metodo do ponto fixo

Cálculo Numérico – Ponto Fixo
Método do Ponto Fixo (MPF) – Método da
Ponto
Iteração Linear (MIL)
Seja uma função f(x) contínua em um intervalo [a,b] que contenha uma raiz de f(x). O Método do Ponto Fixo inicia-se reescrevendo a função f(x) como: f(x) = g(x) – x
Essa forma de escrever f(x) é bastante útil. No ponto x que corresponde à raiz de f(x), isto é, f(x) = 0, teremos que: f(x) = g(x) – x =0 g(x) = x g(x) é a Função de Iteração para f(x)=0

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Por exemplo, a função f(x) = x2 - x – 2 pode ser reescrita como, f(x) = x2 – 2 – x = g(x) – x , onde g(x) = x2 – 2. Essa função tem como ponto fixo o valor x=2, pois g(2) = 22 – 2 =
2.
E esse é exatamente o valor da raiz de f(x), pois f(2) = 22 –
2 – 2 = 0.
Ou seja, no ponto x que corresponde à raiz de f(x), ao substituirmos o valor de x na função g(x), teremos como resultado o próprio valor de x.
Portanto, a raiz de f(x) será o ponto fixo de g(x), ou seja, o valor que ao ser substituído em g(x) retorna o próprio valor de x.

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Método do Ponto Fixo (MPF)
Ponto
Implicação de tal procedimento:

Problema de determinação de um zero de f(x) f(x) Função de iteração Problema de determinação de um ponto fixo de g(x) g(x) Mais importante a abordagem conceitual do que a eficiência computacional.
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Análise Gráfica - Determinar os pontos fixos de uma função g(x) é determinar os pontos de intersecção entre as curvas: y=g(x) y=x y

y=x y=g(x) g(ξ) = ξ

ξ

x0

x

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Exemplo 11: Encontre uma estimativa para a raiz de f(x) = x2 - ex, usando o Método da Iteração Linear (Pontos Fixos).
1 - Encontrando o intervalo da raiz: f(x) = g(x) – h(x) g(x) = x2 e h(x) = ex
2 - Escolha uma função de iteração ϕ(x):

Ou seja, podemos ter como função de iteração: ϕ(x) = ϕ(x) =

ex
− ex
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3 – Usando ϕ(x) =

− e x e x0 = -1, temos:

4 – Substituindo os valores