Aula2 Zeros de Funcoes parte2 slides

Zeros de Funções.
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Métodos Iterativos - Zeros
I.
II.
III.
IV.
V.

Método
Método
Método
Método
Método

da da do de da

Bissecção OK
Posição Falsa OK
Ponto Fixo
Newton-Raphson
Secante

Método do Ponto Fixo (MPF)




[a, b] , intervalo
Seja f (x ) contínua em f ( x) 0 este contendo uma raiz da equação
.
x  (x
)
O MPF consiste em transformar esta equação em xuma equação equivalente
{x k }
0
 e a partir de um gerar uma seqüência aproximações para x k 1  ( xde
)
k através da relação
=>Processo
Recursivo

Método do ponto fixo (MPF)




2 x Exemplo1. Considere a equação x  6 0

  1 ( x ) 6  x 2

  2 ( x)  6  x
Possíveis funções 
  3 ( x)  6  1 de iterações

x

6
  4 ( x)  x 1


Método do ponto fixo (MPF)


Forma geral das funções de iteração:

 ( x)  x  A( x) f ( x) com a condiçãoA( ) 0
Exemplo: x 2  x  6 0 

.

x 6  x 2
 ( x)

  ( x) 6  x 2 x  ( x 2  x  6)

Método do ponto fixo (MPF)


2 x As raízes da equação  x  6 0 são  2 2 e 1  3 e  2 2 . Consideremos
 1 ( x ) 6  x 2 a função de iteração
.

Tomando x0 1.5
, temos
 x1  ( x0 ) 6  (1.5) 2 3.75

x k 1  ( x k )


2
 x 2  ( x1 ) 6  (3.75)  8.0625

2 x 

( x )

6

(

8
.
0625
)
 59.003906
 3
2



{x k } não está convergindo para
 2 2

Método do ponto fixo (MPF)

x2

x1 x0 2

Método do ponto fixo (MPF)


Consideremos agora a função de x0 1.5 iteração com
 2 ( x)  6  x

x k 1  ( x k )

 x1  ( x 0 ) 

 x 2  ( x1 ) 

 x3  ( x 2 ) 

 x 4  ( x3 ) 

 x5  ( x 4 ) 



6  1.5 2.12132
6  2.12132 1.96944
6  1.96944 2.00763
6  2.00763 1.99809
6  1.99809 2.00048

{x k } está convergindo para
 2 2

Método do ponto fixo (MPF)

x2 x00 x1

x1

Método do ponto fixo (MPF)
Teorema:
f ( x ) 0
Seja  uma raiz da equação
,
 isolada num intervalo I centrado em (x).
( x) iteração
0
E seja uma função fde de  (x.)
