METODO DE ESCOLAMENTO

Prof. Cícero José – Anhanguera/Uniban 2013

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9. Escalonamento de sistemas lineares
Já vimos que, para resolver um sistema de duas equações e duas incógnitas, usamos os métodos da substituição e adição. Mas quando o sistema é formado por três ou mais equações, é conveniente procurar um processo menos trabalhoso. Por esse motivo, vamos descrever o sistema em forma de escada, ou seja, por escalonamento.
Um sistema está escalonado quando de equação para equação, no sentido de cima para baixo, houver aumento dos coeficientes nulos situados antes dos coeficientes não–nulos.
Exemplos:

 x+ y+z=3

S1 0x + y + z = 2
0x + 0y + z = 1


 x + y+ z−t = 6

S2 0x − y − 4z + 3t = − 13
0x + 0y + 12z − 6t = 30


Para escalonar um sistema, podemos utilizar as seguintes etapas:
a) Escolhemos para 1ª equação aquela em que o coeficiente da primeira incógnita seja não-nulo. Se possível, fazemos a escolha a fim de que esse coeficiente seja igual a 1 ou –1, pois os cálculos ficam, em geral, mais simples.
b) Nas demais equações, obter zero como coeficiente da 1ª incógnita (caso já não seja), somando cada uma delas com o produto da 1ª equação pelo oposto do coeficiente dessa incógnita.
c) Repetir os itens a e b, substituindo neles 1ª por 2ª, depois 2ª por 3ª etc, até o sistema ficar escalonado. Vejamos alguns exemplos:

Prof. Cícero José – Anhanguera/Uniban 2013

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 x + 2y − 2z = − 5

Exemplo 1: Resolva o sistema 2x − 3y + z = 9 por escalonamento
3x − y + 3z = 8

Resolução:
Em primeiro lugar, precisamos anular os coeficientes de x na 2ª e na 3ª equações.
Substituímos a 2ª equação pela soma dela com a 1ª, multiplicada por –2:

 x + 2y − 2z = − 5

 − 7y + 5z = 19
 − 7y + 9z = 23


−2x − 4y + 4z = 10
2x − 3y + z = 9
− 7y + 5z = 19

Substituímos a 3ª equação pela soma dela com a 1ª, multiplicada por –3:
−3x − 6y + 6z = 10
3x − y + 3z = 8
− 7y + 9z = 23
Deixando de lado a 1ª equação, vamos repetir o processo