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COLÉGIO PEDRO II – HUMAITÁ II
Departamento de Matemática
Professora: Priscilla Guez

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS
1° ano – Ensino Médio
3° Período Letivo

Cosseno da soma de dois arcos
Sejam P, Q e R as extremidades dos arcos a, a + b e – b, respectivamente.
•
•
•
•

P(cos a, sen a)
Q (cos (a + b), sen (a + b))
R(cos b, - sen b)
A(1,0)

Os arcos APQ e RAP possuem a mesma medida (a
+ b). Logo, as cordas AQ e
PR também têm medidas iguais. Temos que d(A,Q) = d(P,R). A distância em dois pontos W = (x0, y0) e K = (x1, y1) é dada pela fórmula [d(W,K)]² = (x0 - x1)² + (y0 - y1)²
Assim,
[d(A,Q)]² = [1 – cos(a + b)]² + [0 – sen(a + b)]²
= 1 – 2cos(a + b) + cos²(a + b) + sen²(a + b)
= 2 - 2cos(a + b) = 2[1 – cos(a + b)]
[d(P,R)]² = (cos a – cos b)² + (sen a + sen b)²
= cos²a – 2cos a cos b + cos² b + sen² a + 2sen a sen b + sen²b
= 2 – 2cos a cos b + 2sen a sen b
= 2 (1 – cos a cos b + sen a sen b)
Igualando [d(A,Q)]² = [d(P,R)]² , temos:
2[1 – cos(a+b)] = 2 (1 – cos a cos b + sen a sen b) => cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b

Cosseno da diferença de dois arcos
Para calcular cos (a - b), fazemos cos (a + (- b)): cos (a - b) = cos a cos (-b) – sen a sen (-b)
= cos a cos b – sen a (- sen b)
Finalmente:
cos (a - b) = cos a cos b + sen a sen b

Exemplo 1: Calcule cos 75°
75° = 30° + 45° cos 75° = cos30° cos 45° - sen30° sen45°

=

ଷ
ଶ

∙

ଶ
ଵ
−
ଶ
ଶ

∙

ଶ
ଶ

=

଺ ି ଶ
ସ

Exemplo 2: Calcule cos 15°
15° = 45° - 30° cos 15° = cos45° cos30° + sen45° sen30°
ଶ
=
ଶ

∙

ଷ
ଶ

+

ଶ ଵ
∙
ଶ ଶ

=

଺ ା ଶ
ସ

Seno da soma de dois arcos
గ
−
ଶ

Como sen x = cos

sen (a + b) = cos

= cos

గ −
ଶ

గ
ଶ

‫ ݔ‬, temos:

(ܽ + ܾ) = cos

− ܽ cos b + sen

గ
ଶ

గ
ଶ

− ܽ − ܾ

− ܽ sen b

Finalmente: sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a

Seno da diferença de dois arcos sen (a - b) = sen [a + (- b)]
= sen a cos (- b) + sen (-b) cos a
Então:
sen (a -